ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ ÖÞ ÓÖÞ ÃÓÞ Ò ÇÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Û Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ñ Ò Û ÒØÓÛ ˆQ + = n d 3 x x FW ˆΦ n 0 0 ˆΦ FW n ÔÖ Ñ Ø Ö

Transkrypt

1 ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ ÖÞ ÓÖÞ ÃÓÞ Ò ÇÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Û Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ñ Ò Û ÒØÓÛ ˆQ + = n d 3 x x FW ˆΦ n 0 0 ˆΦ FW n ÔÖ Ñ Ø Ö Ò Ô Ò Û Þ ÇÔØÝ ÃÛ ÒØÓÛ ÞÝ ØÓÑÓÛ ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö º ÃÖÞÝ ÞØÓ È Ù Ó Ï Ö Þ Û ¾¼¼¾

2

3 ËØÖ ÞÞ Ò Ð Ñ Ò Ò Þ ÔÖ Ý Ø Þ Ò Þ Ò Ò ÐÓ Ð Þ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Þ Ø Û Ö ¹ Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ø ÓÖ Û ÒØÓÛ º ÈÓ ÐÓ Ð Þ Ø ØÙ ÖÓÞÙÑ Ò Û Ò Ñ Ø Ñ ¹ ØÝÞÒ Ó ÓÔ Ù ÔÓ Ó Ò Þ Ø Ò Û Ò ÑÔ ÖÝÞÒ Ø Û Ô ÛÒÝÑ Ó ¹ Þ ÖÞ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝѺ ÈÖ Ñ Þ Ø Ñ Ö Ø Ö Ø ÓÖ ØÝÞÒÝ ÛÒÝÑ Þ Ò Ñ Ø ÔÓ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ð Þ Ø Ó Ô Ò ¼ ½»¾ ½º Ï ÓÒ ØÖÙ ÔÓÛÝ ¹ ÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÞÛÖ ÓÒÓ ÞÞ ÐÒ ÙÛ Ò ØÓ Ý Ó Ð ØÓ ÑÓ Ð Û µ ÓÛ ÓÑÙØÓÛ Ý Ó Þ Ö º Ï ÔÓÑÒ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÔÓ Ó Ò Û ÒÒÝ Ý ÙÓ ÐÒ Ò Ñ ÞÛݹ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÞÒ Ò Ó Þ Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ñ Ò Û ÒØÓÛ Ó Û Ø Ò Ö ÓÛ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò ÔÖÞ Þ Û Ô ÖÞ Ò ÔÖÞ ¹ ØÖÞ ÒÒ º ÈÖ Þ Û Þ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ó Ö Ò ÔÓ Ó Þ Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò º ÈÓ Ø ÛÓÛ ÛÝÒ ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò Û Ó Ù Þ Þ Ó Ò Ð Ö ¹ Ò ÓÖÑ ØÓÔÒ Ñ Ó ÐÒÓ º Ï Ô ÖÛ Þ Þ ÔÖ Ý Þ ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò ÔÖÓÔÓÞÝ Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÔÓ Ó Ò Ù ÞØ ØÓÛ Ò Û ØÓ Ù ØÓÖÝÞÒ Ó ÖÓÞÛÓ Ù Ñ ¹ Ò Û ÒØÓÛ º Æ Ö Þ Ó ÐÒ Û Ö ÔÓ ÒÝ Û Ø Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÔÓ Ó Ò ÓÔ Ö Ò Ò Ö ØÓÖ ÖÙÔÝ ÈÓ Ò Ö Óº Æ Ø ØÝ Û ÔÓÑÒ Ò ÔÖÓÔÓÞÝ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÔÓ Ó Ò Ò Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÞÑ ÓÛÝ Þ Ø Þ Ò Þ ÖÓÛÝÑ Ô Ò Ñº ÈÓÒ ØÓ Ó ÞÞ ÓÛÓ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ø ØÙØ ÔÓ Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ó ÖÓ Ñ Ý¹ Ò Ö ÓÖ Þ Ó ÞÛ Þ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÔÓ Ó Ò º Ï ÓÒØ ØÝ ÖÓÞÛ ¹ Ò ÓÛ Ò Ö Ò Û Ö Û Ò Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù Ð Ó ÔÓÛ Þ Ò Ó Þ ÔÓ Ñ Ô ÒÙº Ï ÞÝ Ø ÖÓÞÛ Ò ÔÖÓÛ ÞÓÒ Ò ÔÓÞ ÓÑ ÓÔ Ö ØÓÖÓÛÝÑ ÞÞ ÐÒÝ Ò ÔÓ Ó ÓÒÝ Ø Ò ÔÓ Ø ÔÓ Ø ÛÓÛÝ ÞÛ Þ Û ÓÑÙØ Ý ÒÝ ÓÑ Û ÒÝ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ûº ÖÙ Þ ÔÖ Ý Þ Û Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó¹ ØÛ Û Ö Ñ ÓÖÑ Ð ÞÑÙ ÖÙ Û ÒØÝÞ Ó Ò Û ÒØÓÛ Ø ÓÖ Ô Ð ÛÓ Ó ÒÝ º ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÔ Ö Ò Ô ÛÒ ÞÞ ÐÒ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò ÞÝÛ Ò ØÙØ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ Þ ÔÓÛÓ Ù Ò ØÝÔÓÛÝ Ò ÐÓ ÐÒÝ ÔÖ Û ØÖ Ò ÓÖÑ Ý ÒÝ ÛÞ Ð Ñ ÖÙÔÝ ÄÓÖ ÒØÞ º Ï ÐÙ ÞÒ Ð Þ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ØÓ ÓÛ Ò Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ÔÓ Ó Ò ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ò ¹ Ð Ö Ø Ö Þ Ò ÔÓÛ ÒÒÝ ÓÑÙØÓÛ õ ÒØÝ ÓÑÙØÓÛ µ Ó ÐÓÞÝÒÙ ÐØ ÃÖÓÒ Ö Ö º Ý ÙÒ Ò Ò ÒÓÞÒ ÞÒÓ ÓÒ ØÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó ¹ Ò Þ Ø Ó ÖÞÓÒÝ Ô Ò Ñ Þ Ö Þ Ô ÒÓÛÝ ÞÓ Ø Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Ó ÛÝÖ Ò ÓÒ Û ÒÝÑ Ù Þ µ ÔÖÞ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ ÄÓÖ ÒØÞ Ð Ý Ý Ð ÞÒÝ Þ ÔÓÞÝÒ ÓÛÝ º ÃÓÒ ØÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ø ÛÝ ÓÒÝÛ Ò Ó Þ ÐÒ Ð Ô Ð Þ Ø µ Ó Ô Ò ¼ ½»¾ ½º ÈÖÞÝ Ø Ó Þ ÔÖÞÝØÓÞÓÒ ÔÓ Ø ÛÝ ÒÓÒ ÞÒ Ó Û ÒØÓÛ Ò ØÝ Ô Ð Þ ÞÞ ÐÒÝÑ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ñ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Ø Ò Û Ó ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ö ÒÝ ÙÒ ÐÓÛÝ º Ï ØÝÑ ÓÒØ ÞÓ Ø Ó Ø ÓÛÓ ÔÖÞ Ò Ð ÞÓÛ Ò ØÖÙ ØÙÖ ÖÓÞ Þ ÖÞÓÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ó ÔÓÐ Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ Ó Ø Ö ØÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÔÓ Ó ØÒ Ó

4 Ó Ö ÐÓÒ ÒÓÖÑݺ Ó Ø Ö ÛÒ ÓÖÑÙ ÓÛ ÒÝ Û ÖÙÒ Ò Þ Ð ÒÓ Ó ÖÛ Ð Ó ÛÓ¹ Ó Ý ÓÛ Ò º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ô Ð ÓÔ Ù Ý Þ Ø Ò ÓÛ Ò ÞÓ Ø Ý ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ Û ØÝÔÝ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ˆQ + Ð Þ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ˆQ Ð ÒØÝÞ Ø º Í Ó Ò ÓÒ ØÖÙÓÛ ÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖÓÑ ÔÓ Ó Ò ˆQ ± ÓÖÑ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ØÞÛº ÔÓÞÝÒ¹ ÓÛ Û ÖØÓ Ô Ðº ÇÔ Ö ØÓÖÝ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÞÓ Ø Ý ÛÝÖ ÓÒ Þ ÔÓÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ô Ð ØÝÔÙ ÓРݳ Ó¹ÏÓÙØ ÙÝ Ò º Ï ÓÒ Û Ò ÔÓÛÝ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ ØÓ ÓÛ Ò Ò Þ Ð ÔÓÐ Ö ÞÓ Ø ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ Ö ÛÒ Ð Ô Ð Ð ÖÒÝ Û ØÓÖÓÛÝ Û ÞÒ Þ ÞØ ÖÓÔÓØ Ò Ñ ÔÓÐ Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ Óº ÇÔ Ö ØÓÖÝ ÔÓ Ó Ò Ð Þ Ø Ð ÖÒÝ ÔÓ ÔÖÓ ØÝ ÑÓ Ý ÑÓ Ý ÙÓ ÐÒ ÓÒ Ò ÖÞÝÛÓÐ Ò ÓÛ Û Ô ÖÞ Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò¹ ÒÓÔÓ Ó Ò º ÛÓ Ø Ø Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÔÓ Ó Ò ˆQ ± Ð Þ Ø Ð ÖÒ ÔÖÞ ¹ ÒÓ Þ Ò Ø ÓÖ Ó Þ Ù Ý Ô Ð Û ÒØÓÛÝ ØÞÒº Ò Ø Ò ÔÖ Û Ó¹ ÔÓ Ó Ò Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒ Ø Û Ø Ø ÓÖ º ÈÓÛÝ Þ ÙÓ ÐÒ Ò ÔÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ØÖ ØÓÛ Ò Ø ØÙØ Ó ÔÖÓÔÓÞÝ Ø Ö Ò ÞÓ Ø ÞÞ ÓÛÓ ÔÖÞ Ò Ð ¹ ÞÓÛ Ò Û ÞÞ ÐÒÓ Ò ÔÓÞ ÓÑ Ö ÒÓÖÑ Ð Þ º ÏÞ Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÞÓ Ø ÙÓ ÐÒ ÓÒÝ Ö ÛÒ Ò ÔÖÞÝÔ Þ Ø ÞÑ ¹ ÓÛÝ º ÁÒØ Ö Ù ÝÑ Ð Ñ ÒØ Ñ ÔÖ Ý Ø ÔÖÓÔÓÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ¹ Ó ØÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÓØÓÒÙº ÇÔ Ö ØÓÖÝ Ø ÞÓ Ø Ý ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ Û ÓÔ Ö Ù Ó ÙÓ ÐÒ ÓÒ ÔÓÞÝÒ ÓÛ Û ÖØÓ ÞØ ÖÓÔÓØ Ò Ù Ø Ö Ó Þ Ó Ø ÔÖ ØÝÞ¹ Ò Ö ÛÒÓÛ Ò ÓÛ Ò Ù ÓÙÐÓÑ ÞØ ÖÓÔÓØ Ò Ù º ÍÞÝ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÔÓ Ó Ò ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ô Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ ÖÝØ Ö ÔÓÔÖ ÛÒÓ Þ ÛÝ Ø Ñ Ø Ó ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ò ÓÑÙØÙ º Ø Ø Ò Ø ÓÒ Û Ò Ò Ø¹ Ò Ò Ø Ò Û ÓØÓÒÓÛÝ ÓÛÓÐÒ Ó ÖÞ ÞÐÓ Ð ÞÓÛ ÒÝ Û ÝÑ ÖÙÒ Ùº Ç Ó Ò Ó ÖÓÞÔ ØÖÞ Ò ÛÝÑ ÔÓÒ ØÓ ÔÖÞÝÔ ÞÑ ÓÛÝ ÖÑ ÓÒ Û Ó Ó Ö ¹ ÐÓÒ ÖØÒÓ º Ì ÓÖ Ø Þ Ø ÞÓ Ø ÓÔ Ò Û Ó Ø ØÒ Ñ ÙÞÙÔ Ò ÝÑ ÖÓÞ¹ Þ Ð Ø ÖÝ Ý Ò Ô ÒÝ ÔÓ Ó ÖÓÒ ÔÖ Ý Ñ Ø Ö º ÃÓÒ ØÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ¹ Ó Ò ÞÑ ÓÛ Ó Ð ÛÓ ÖØÒ Ó ÖÑ ÓÒÙ Ý ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒ Ò ÐÓ ÞÒ Ð ÓØÓÒÙº Ï ÛÝÒ Ù Ø ÓÒ ØÖÙ ÙÞÝ ÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ó Ò ÓÑÙØÙ Ý Ó¹ ÛÝ º ÈÓ ØÝÑ ÛÞ Ð Ñ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÔÓ Ó Ò ÓØÓÒÙ ÓÖ Þ ÞÑ ÓÛ Ó ÒÓ ÖØÒ Ó ÖÑ ÓÒÙ ÛÝ Ø ÓÛ º Ú

5 ÈÓ Þ ÓÛ Ò Ë Ñ ÛÝÖ ÞÝ ÔÓ Þ ÓÛ Ò ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ Ò Ò Þ ÔÖ Ý Ñ Ø Ö ÖÓÛ º ÃÖÞÝ ÞØÓ ÓÛ È Ù ÑÙ Þ ÓÔ Ò Ù ÓÛ Û ØÖ ØÙ Û Ñ Ø Ö ÓÖ Þ Þ Ò Ù Ø ÒÒ ÓØÓÛÓ Ó ÔÓÛ Ò Ò ÔÝØ Ò ÓØÝÞ Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Û ÒØÓÛ Ø ÓÖ ÔÓÐ º ÝÑ Ö ÛÒ ÔÓ Þ ÓÛ ÔÖÓ º ÖÓÛ º ÁÛÓ ÝÒ ÑÙ¹ ÖÙÐ Þ ÓÒ¹ ÙÐØ Ò Ø Ñ ØÝ ÞÛ Þ Ò Þ ÔÖ ÓÖ Þ ÞÛÖ Ò ÑÓ ÙÛ Ò Ø ÓÛ Ö ÒØÒ ÙÒ ÐÓÛ Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ñ ÖÞÓÛÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓÐ ÔÓÐ ÞÓÒÝÑ Ò Ø Ò ÔÖ Ò Þ ÒÝÑ Ø Ò ÒÓÞ Ø ÓÛÝѺ Ú

6 Ú

7 ËÔ ØÖ ËØÖ ÞÞ Ò ÆÓØ Û Ò Þ ÛÞÓÖÝ Ü Á Í ØÓÖÝÞÒ ½ ½ À ØÓÖ Þ Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ½º½ È ÖÛ ÞÝ Ø Ô ÖÓÞÛÓ Ù Ñ Ò Û ÒØÓÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ áöó Ñ Ý¹ Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ÈÖÝ ³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ç Ò Æ ÛØÓÒ Ï Ò Ö ÓÖ Þ ÓРݳ Ó ÏÓÙØ ÙÝ Ò º º º º º º º ½½ ½º ÈÖÞ Ð ÛÝ Ö ÒÝ Û Ô Þ ÒÝ ÔÖ Ó ÐÓ Ð Þ Þ Ø º º º º º º º º ½¾ ½º ÈÓ ÙÑÓÛ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÁ ÇÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÙÒ ÐÓÛ Ó ÓÛ Ø Ò Û Û Ò¹ ØÓÛÝ Ô Ð ÛÓ Ó ÒÝ ½ ¾ ÃÖ Ø ÛÔÖÓÛ Þ Ò ½ ÊÞ ÞÝÛ Ø ÔÓÐ Ð ÖÒ ¹ Ò ÙØÖ ÐÒ Þ Ø Þ Ô ÒÓÛ ¾½ º½ ÃÛ ÒØÓÛ Ò ÒÓÒ ÞÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º½º½ Ê ÔÖ Þ ÒØ ÒÛ Ö ÒØÒ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º¾ ÇÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Û Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ÒÛ Ö ÒØÒ º º º º ¾ º Ò Ò ØÓ ÞØ ÖÓÔÖ Ù ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÔÓ Ó Ò Þ Ø º º ¾ º ÍÓ ÐÒ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ ÇÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Û Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖÞÝÛÓÐ Ò ÓÛÝ º º º º º º º ¾ º º¾ Ï ÐÓÞ Ø ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÔÓ Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÓÐÓÒ ÔÓÐ Ð ÖÒ ¹ Ò ÓÛ Ò Þ Ø Þ Ô ÒÓÛ º½ ÇÔ Ö ØÓÖÝ ÔÓ Ó Ò Þ Ø ÒØÝÞ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÈÖÓÔÓÞÝ ÙÓ ÐÒ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ò Ø ÓÖ Þ Ó Þ ÝÛ Ò Ñ º º ÈÓÐ Ö ¹ Ð ØÖÓÒÝ ÔÓÞÝØÓÒÝ º½ ÃÛ ÒØÓÛ Ò ÒÓÒ ÞÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ô ÒÓÖÓÛ ÞÝ ÖÓÞÛ Þ Ö ÛÒ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º½º¾ Û Þ ÒØÝ ÓÑÙØ Ý Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º ËØ ÒÝ Ó ÙÒ ÐÓÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÇÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ º º º º º º º º º º º º º º Ú

8 ÈÓÐ Û ØÓÖÓÛ Þ Ñ ¹ Þ Ø ÈÖÓ ½ º½ ÃÛ ÒØÓÛ Ò ÒÓÒ ÞÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ý Ð ÞÒ Þ Ô ÒÓÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º ÞÑ ÓÛ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ ¹ ÓØÓÒÝ º½ ÃÓÛ Ö ÒØÒ Û ÒØÓÛ Ò ÒÓÒ ÞÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ËØÖÙ ØÙÖ ÖÓÞ Þ ÖÞÓÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ Ï ÖÙÒ ÓÒ ÞÒÝ Ð Ó ÖÛ Ð ÞÝÞÒÝ º º º º º º º º º º º º º¾ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º½ Ï ØÔÒ ÔÖ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º¾ ÍÓ ÐÒ ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ï ÞØ ÖÓÔÓØ Ò Ù º º º º º º º º º º º ½ º¾º ÈÖÓÔÓÞÝ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÔÓ Ó Ò º º º º º º º º º º¾º ÈÖÓÔÓÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÓØÓÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÖ Ø ÔÓ ÙÑÓÛ Ò ÍÞÙÔ Ò Ò ÞÑ ÓÛ ÖÑ ÓÒÝ ÒÓ ÖØÒ ½ º½ Ê ÛÒ Ò Ï ÝÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÃÛ ÒØÓÛ Ò ÒÓÒ ÞÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÍÓ ÐÒ ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓРݳ Ó¹ÏÓÙØ ÙÝ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÇÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÏÒ Ó Ó ÓÔ Ö ØÓÖÞ ÔÓ Ó Ò Ð Þ Ø ÞÑ ÓÛÝ Þ Ô Ò Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú

9 ÆÓØ Û Ò Þ ÛÞÓÖÝ Æ ½º  ÒÓ Ø ËØÓ ÓÛ ÒÝ Ø Ù ÒÓ Ø Û Ø ÖÝ Þ Ò = c = ε 0 = µ 0 = 1. Å ÑÓ ØÓ ÝÑ ÓÐ, c Þ Ñ Ù ÝÛ Ò Ð Ð Û ÔÓ Ð ÓÛÝ Ó Ò ÔÓÛ ÒÒÓ ÔÖÓ¹ Û Þ Ó Ò ÔÓÖÓÞÙÑ º ÈÓ Ø ÛÓÛ ÒÓ Ø Ø Ñ ØÖº  ÒÓ Ø Ù Ù ËÁ Ø ÙÒ ÐÓ Ö Ñ ÑÔ Ö ÛÝÖ Û Ñ ØÖ ÐÙ Û Ñ ØÖ Ó ÛÖÓØÒÝ 1s = c 1s = 2, (00) 10 8 m, 1kg = c/ 1kg = 2, (49) m 1, 1A = µ 0 / c 1A = 6, (54) 10 9 m 1. Ï Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Ù ÝÛ ÒÝ Ø Ù ÞÖ ÒÓÖÑ Ð ÞÓÛ ÒÝ Û Ø ÖÝÑ Ò ÒÓÖÓ Ò Ö Û¹ Ò Ò Å ÜÛ ÐÐ Ñ ÔÓ Ø rot B = j t E, µ div E = ρ. ½µ ¾µ Æ ¾º ÇÞÒ Þ Ò Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Ï Û Ô ÖÞ ÒÝ ÐÓÖ ÒØÞÓÛ (x µ ) Þ µ ÒÒ Ö Û õò ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ 0, 1, 2, 3 Ø Ò ÓÖ Ñ ØÖÝÞÒÝ Ñ ÔÓ Ø (g µν ) = µ Ï õò i, j,... ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ 1, 2, 3º ÌÖ Û ØÓÖÝ ÓÞÒ Þ Ò ÛÝØ Ù Þ¹ ÞÓÒ Þ ÓÒ ÒÔº (x i ) = xº ËØÓ ÓÛ Ò Ø ÓÒÛ Ò ÙÑ Ý Ò Ò Ø Ò Ð Ô Ö ÔÓÛØ ÖÞ Ý Ò Û Ö Ò Ó ÓÐÒ Ó ÖÙ Ó ÖÒ Óµ ÓÖ Þ Ð Ô Ö Ò Û Ó ÓÛÓй ÒÝÑ ÔÓ Ó Ò Ù a b = a µ b µ = g µν a µ b ν, a b = a i b i = a i b i = a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. Ð ÓÛ ÒØÝ ÝÑ ØÖÝÞÒÝ ÝÑ ÓÐ Ä Ú ¹ Ú ØÝ ε µνρσ ε ijk ÔÖÞÝ Ø Ø ε 0123 = ε 0123 = +1, ε 123 = ε 123 = +1. Ü. µ µ

10 Ë ÖÓÛ Ò ØÖ ÓÖÑ Ó ØÓ Ø Þ Ô ÝÛ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Û Þ ÀÓ ³ dx µ = 1 6 εµ νρσ dxν dx ρ dx σ. µ ÖÓÛ ÓÛ Ø Ó Ó ØÙ ÔÓ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ù ÓÖ ÒØ Þ Ò ÔÖÞ Þ ÒÙÑ Ö Û Ô ¹ ÖÞ ÒÝ Ø ÞÛÝ ÓÖÑ Ó ØÓ dx 0 = dx 1 dx 2 dx 3 d 3 x. µ ÇÔ Ö Ö Ò Þ ÓÛ Ò ÓÞÒ Þ Ò Ò ØÔÙ Ó µ = / x µ, µ = g µν ν. µ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ø Ö ÛÒ ÓÔ Ö Ö Ò Þ ÓÛ Ò Ó Ù ØÖÓÒÒ Ó µ = µ µ. ½¼µ ÈÓÒ ØÓ Ù ÝÛ Ò Ø Ò Ð ½ Ð ÔÐ Ò Ð Ñ Ö Ò = ( i ) = ( / x i ) = 2 = i i = µ µ = 2 t ½½µ Æ º ÇÞÒ Þ Ò Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò À Ð ÖØ º Ï ØÓÖÝ Ø ÒÙ Ò Ð Ó ÔÖÞ ØÖÞ Ò À Ð ÖØ H ÓÞÒ Þ Ò ÔÖÞ Þ Ψ º Í Ý¹ Û Ò Ø Û ÒÓØ Ö ¹ ØÓÛ Ö º Ï ØÓÖÓÛ ÒÓÞ Ø ÓÛ Ó Ø ÒÙ Ó ÔÓÛ Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ ÒÛ Ö ÒØÒ ÙÒ ÐÓÛ Φ(x) Û Ö ÔÖ Þ ÒØ Ô ÓÛ ÙÒ Φ(p) Ø Ö Ö ÛÒ Ò Þ Ð Ý Ó Ù Ù Ó Ò Ò º ÈÓÒ ØÓ Þ Ò ÓÛ Ò Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ÙÒ ÐÓÛ Ψ(x) Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ Ψ(p) Û Ö ÔÖ Þ ÒØ Ô ÓÛ º ÙÒ Ø ØÖ Ò ÓÖÑÙ Û Þ Ó ÓÒÝ ÔÓ ÔÖÞÝ ÞÑ Ò Ò Ö ÐÒ Ó Ù Ù Ó Ò Ò º ÇÔ Ö ØÓÖÝ Ñ ÖÞ ÓÞÒ Þ Ò Þ Ñ ÒÔº â, ˆb, ˆβ Þ ÔÖÞ Ò Ö¹ Ñ ØÓÛ ÖÞÝ Ý Ñ â, ˆb, ˆβ º ÃÓÑÙØ ØÓÖÝ ÓÞÒ Þ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ò Û Û Û Ö ØÓÛÝ ÔÖÞ Ò [, ] ÒØÝ ÓÑÙØ ØÓÖÝ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ò Û Û Ð ÑÖÓÛÝ ÔÖÞ Ò {, }º ÁÒÛ Ö ÒØÒÝ Ö Ò ÖÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ð Þ Ø Þ Ô ÒÓÛ Ó ÞØ ÖÓÔ Þ p ÓÞÒ Þ ÒÝ Ø ÔÖÞ Þ â(p) Ò ØÓÑ Ø ÒÛ Ö ÒØÒÝ Ò Ö ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ð Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ ÔÖÞ Þ ˆφ (+) (x)º À Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ Ó ÔÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û â(p) ˆφ (+) (x) ØÓ Ó ÔÓÛ Ò Ó â p ÓÖ Þ â t,x º Æ º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÌÖ ÛÝÑ ÖÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÓÖ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ÛÖÓØÒ d Ψ(p) = d 3 xψ(x)e ip x 3 p, Ψ(x) = (2π) Ψ(p)e ip x. 3 ½¾µ ½ Æ Ø Ò Ö ÓÛÝ ÞÒ Ò Ð ÔÓ Ý ØÓÛ ÒÝ Ø Ù ÑÒ Ý Ò ØÙÖ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ ÓÖ Þ Ò Ñ Ý Ø ÒÓÛ ÓÒ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Þ ÞØ ÖÓÛ ØÓÖ ( µ ) Ò ÓÛ ØÓÖ ( µ ) º Ü

11 Ð ÙÒ Ô Ò Ý Ö ÛÒ Ò ÃÐ Ò ¹ ÓÖ ÓÒ ØÓ ÓÛ Ò Ø ÒÛ Ö ÒØÒ ØÖ ÛÝÑ ¹ ÖÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ¾ φ(p) = dx µ e ip x (p µ + i µ ) φ(x). ½ µ Ω }{{} i µ ÓÛ Ò ÔÖÞ ØÙØ ÔÓ ÓÛÓÐÒ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÓÔÓ Ó Ò Ô ÖÔÓ¹ Û ÖÞ Ò Ω º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ó ÛÖÓØÒ Ñ ÔÓ Ø d 4 p φ(x) = m 2 )ǫ(p (2π) 3δ(p2 0 ) φ(p)e ip x. ½ µ ÏÝ ØÔÙ ØÙØ δ¹ Ö ÙÒ ÞÒ ÓÛ ÒÙÑ ǫ( )º Ê ÛÒ Ò ØÓ ÑÓ Ò ÔÖÞ ÞØ Ó ÔÓ Ø d 3 p φ(x) = [ φ(p)e ip x (2π) 3 2p φ( p)e ] ip x, ½ µ 0 ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÔÖÞÝ ÑÙ ÑÝ p 0 = + m 2 + p 2 º Æ º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÄÓÖ ÒØÞ ¹ Ô Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ ÞØ ÖÓÛ ØÓÖ Û Ï Ô ÖÞ Ò ÞØ ÖÓÛ ØÓÖ x Û ÒÓÛÝÑ ÔÖ ÑÓÛ ÒÝÑ Ù Þ Ò Ö ÐÒÝÑ ÔÓÖÙ Þ ¹ ÝÑ Þ ÞØ ÖÓÔÖ Ó U µ ÛÝÖ Ò ØÔÙ Ó Þ ÔÓÑÓ Û Ô ÖÞ ÒÝ Û Ù ¹ Þ ÛÝ ÓÛÝÑ x 0 = U µ x µ, x = x U µx µ + x 0 U. ½ µ 1 + U 0 ÈÓÛÝ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÞÝÛ Ò Ô Ò Ñ ÐÓÖ ÒØÞÓÛ Ñ ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø Ñ ÖÞÓÛ x µ = Λ µ ν (U)xν, ½ µ Þ ÓÛ Ñ ÖÞÝ Λ µ ν(u) ÛÝÒÓ Þ Ó ÔÓÛ Ò Ó Λ 0 µ (U) = Λµ 0(U) = U µ, Λ k l (U) = gk l Uk U l 1 + U 0. ½ µ ÊÓÞÛ Ò Ñ ÖÞ ÑÓ Ò Ø ÛÝÖ Þ ÔÓ ÝÒÞÝÑ Ö ÛÒ Ò Ñ Λ µν (U) = g µν u µu ν (1 + 2u 0 )(u µ g ν0 + u ν g µ0 ) + (1 + 2u 0 + 2u 2 0 )g µ0g ν0 1 + u 0, ½ µ ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÞØ ÖÓÔÖ Ó U ÞÓ Ø Þ ÔÖ Û ØÖÓÒÝ Ö ÛÒ Ò ÓÞÒ ÞÓÒ Ñ Ð Ø Ö Ð Ö Ò Þ Ô Ùº Å ÖÞ ØÖ Ò ÓÖÑ ÄÓÖ ÒØÞ Ô Ò Ó ÐÒ Ö ÛÒ Ò Λ µν Λ ρσ g νσ = g µρ. ¾¼µ Å ÖÞ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ñ ÖÞÝ Ô Ò ÄÓÖ ÒØÞ Ø ÔÓ Ø Λ 1 µν (U) = Λ µν(ũ), ¾½µ ¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø Ø Ò ÞÑ ÒÒ Þ Ò ÔÓÛ Ó Ñ Ý p 2 = m 2 º ÈÖÞ Þ Ø ÖÑ Ò Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò ÖÓÞÙÑ Û Ø ÔÖ Ý Ò Ó Ö Ò ÞÓÒ Û ÝÑ ÖÙÒ Ù ÔÓÛ ÖÞ Ò º Ü

12 Þ (Ũµ ) = (U 0, U)º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ô ÒÓÖ Û Ö Ô ÒÓÖ ψ Û ÛÝÒ Ù Ô Ò ÐÓÖ ÒØÞÓÛ Ó Ó Ù Ù ÔÓÖÙ Þ Ó Þ ÞØ ÖÓ¹ ÔÖ Ó U ØÖ Ò ÓÖÑÙ Ò ØÔÙ Ó ψ = Ŝ(U)ψ, ¾¾µ Þ Ñ ÖÞ Ŝ ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ñ ÖÞÝ Ö ˆγµ ÞØ ÖÓÔÖ Ó U Ŝ(U) = 1 + ˆγ 0ˆγ µ U µ 2(1 + U0 ). ¾ µ À ÖÑ ØÓÛ Ñ ÖÞ ÖÓÞÛ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ô Ò Ó ÐÒÝ ÞÛ Þ Ŝˆγ µ Ŝ 1 = (Λ 1 ) µ νˆγ ν, ¾ µ Þ Ñ ÖÞ (Λ 1 ) µ ν Ø Ó ÛÖÓØÒÓ Ñ ÖÞÝ ØÖ Ò ÓÖÑ ÄÓÖ ÒØÞ Ð ÞØ ÖÓÛ ØÓ¹ Ö Û Ó Ø Ö Þ Ð Ý ÞÖ ÞØ Ñ ÖÞ Ŝº Ç ÛÖÓØÒÓ Ñ ÖÞÝ Ô Ò ÐÓÖ ÒØÞÓÛ Ó Ô ÒÓÖ Û ÛÝÖ ÛÞÓÖ Ñ Ŝ 1 (U) = Ŝ(Ũ) = ˆγ 0Ŝ(U)ˆγ 0. ¾ µ Æ º ÌÖ Ò ÓÖÑ ØÝÔÙ ÓРݳ Ó¹ÏÓÙØ ÙÝ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ Ð ÔÓÐ Ð ÖÒ Ó Ð ÔÓÐ Ð ÖÒ Ó φ(x) Ô Ò Ó Ö ÛÒ Ò ÃÐ Ò ¹ ÓÖ ÓÒ Ò Ù ÑÝ Û ¹ ÒÝÑ Ù Þ Ò Ö ÐÒÝÑ ÔÖÞ ÞØ Ò φ FW (t,x) = 2 m 2 φ(t,x), ¾ µ Þ m Ø Ñ ÛÝ ØÔÙ Û Ö ÛÒ Ò Ù ÃÐ Ò ¹ ÓÖ ÓÒ Ð ÔÓÐ φ(x)º ÈÖÞ ØÖ Ò ÓÖ¹ ÑÓÛ Ò ÔÓÐ φ FW (x) Û Ò Ò Þ ÔÖ Ý Ø Ò ÞÝÛ Ò Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ÔÓ Ø ÔÓÐ ¹ Ð ÖÒ Ó ÐÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓРݳ Ó¹ÏÓÙØ ÙÝ Ò Ð ÔÓÐ Ð ÖÒ Óº ØÛÓ Þ ÙÛ Ý ÒÓÛ ÔÓ Ø ÔÓÐ Ð ÖÒ Ó Ñ ÞÑ Ò ÓÒÝ ÛÝÑ Ö Û ØÓ ÙÒ Ù Ó Ó Ô ÖÛÓÛÞÓÖÙº ÌÖÙ ÒÓ Ñ Û Ó ÙÒ Ø ÖÒÓ ÓÐÛ ØÖ Ò ÓÖÑ ÔÓÐ Ð ÖÒ Ó Ð Ô Ò ÓÒ Ø Ò ØÔÙ ØÓ ÑÓ Ð ØÞÛº ÔÖÓ Ù ØÙ Ð ÖÒ Ó Û Ô Ð φ(x) ϕ(x) dx µ φ (±)(x)i µ ϕ (±) (x) = ± d 3 x φ FW (±) (t,x) ϕ FW (±) (t,x), ¾ µ Ω Þ Ò Ý ÞÒ ÓÛ (±) ÓÞÒ Þ Þ Ò Ó ÔÓÐ Ó Ó Ö ÐÓÒÝÑ ÞÒ Ù Þ ØÓ º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ï ÔÓÐ Ö Ï Ô ÖÛ ÞÝÑ ÖÓ Ù ÞÓ Ø Ò Þ Ò ÓÛ Ò ÔÓÞÝÒ ÓÛ ÔÓ Ø ÔÓÐ Ö ψ S (x) Ó Ô Ò ÄÓÖ ÒØÞ ÔÓÐ Ö ψ(x) Þ ÞØ ÖÓÔÖ Ó Û ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ψ S (x) = Ŝ(Û) ψ(x), ¾ µ ÈÖÓ Ù Ø Ð ÖÒÝ Ô Ð Ó ÔÖÞ ÛÒÝ Þ ØÓ Ø Ö ÛÒÝ Þ ÖÙº Ü

13 Þ Û ÔÓÑÒ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÞØ ÖÓÔÖ Ó Ñ ÔÓ Ø Û µ = ˆǫ i µ /m, ¾ µ ÔÖÞÝ ÞÝÑ ˆǫ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÞÒ Ù Þ ØÓ Ò Ö µº ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓРݳ Ó¹ÏÓÙØ Ùݹ Ò ÔÓÐ Ö Û ÒÝÑ Ù Þ Ò Ö ÐÒÝÑ ÑÓ Ò Ø Ö Þ Þ Ò ÓÛ Ò ØÔÙ Ó ψ FW (t,x) = Ê/m ψ S (t,x), ¼µ Þ Ê = m 2 º ÞÔÓ Ö Ò Ó Æ ÔÓ Ø Û ¾ µ ØÖ Ò ÓÖÑ Ï ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ Ö Þ ψ FW (t,x) = ÛFW ψ(t,x), Û FW = Ê + ˆβĤD 2Ê(m + Ê), ½µ Þ ÛÝ ØÔÙ Ñ ÐØÓÒ Ò Ö ĤD = iˆα + ˆβm Ø ÖÝ Ø ØÙØ Þ Ô ÒÝ Þ ÔÓ¹ ÑÓ Ò ÓÛ Ö ÒØÒ Û Ö Ñ ÖÞÝ Ö ˆβ = ˆγ 0, ˆα = ˆγ 0ˆγº ÏÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û FW Ø ÙÒ Ø ÖÒݺ ÌÖ Ò ÓÖÑ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó Þ Ñ Æ ÔÓÐ ÈÖÓ A µ (x) Ô Ò Ö ÛÒ Ò ÃÐ Ò ¹ ÓÖ ÓÒ Þ Ñ m ÔÓ Þ ÖÓÛ ÞØ ÖÓ ÝÛ Ö Ò º ËÔÓÞÝÒ ÓÛ Û ÖØÓ Ø Ó ÔÓÐ Û ÒÝÑ Ù Þ Ò Ö ÐÒÝÑ ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ Ò ØÔÙ Ó A µ S (t,x) = Λµ ν (Û)Aν (t,x), ¾µ µ Þ Λ ν(û) Ø Ñ ÖÞ Ô Ò ÐÓÖ ÒØÞÓÛ Ó Þ ÞØ ÖÓÔÖ Ó Û Ø Ö Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Þ Ò ÓÛ ÒÝÑ Ö ÛÒ Ò Ñ ¾ µº ÈÖÞÝ ÑÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÞÒ Ù Þ ØÓ ÛÝÒÓ ˆǫ = i t /Ê ÑÓ Ò Ò ÔÓ Ø Û ½ µ ÛÝÐ ÞÝ ÓÛ Aµ S ÙÞÝ A 0 1 S 0, A S = A + A). µ Ê(m + Ê) ( ØÛÓ Ø ÔÖÞ ÞØ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Þ ÔÓÞÝÒ ÓÛ Ó ÔÓÐ ÈÖÓ Ó Ò ØÔÙ ÔÓ Ø A S = m Ê A + 1 ( A). Ê(m + Ê) µ ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓРݹÏÓÙØ ÙÝ Ò ÔÓÐ ÈÖÓ ÑÓ Ò Ø Ö Þ Þ Ò ÓÛ Ö ÛÒ Ò Ñ A FW (t,x) = 2Ê A S(t,x), µ Ø Ö ÔÖÓÛ Þ Ó ÛÞÓÖÙ A FW = 2 2Ê A + ( A). E(m + Ê) µ ËÔ Ò ÓÒ Ø Ò ØÔÙ ØÓ ÑÓ Ð ØÞÛº ÔÖÓ Ù ØÙ Ð ÖÒ Ó Û Ô Ð ÈÖÓ A A dx µ A (±)ν i µ A ν (±) = ± d 3 x A FW (±) A FW (±). µ Ω Ü

14 ÌÖ Ò ÓÖÑ ÞØ ÖÓÔÓØ Ò Ù ÓÛ Ò ÓÙÐÓÑ ËÛÓ Ó Ò ÔÓÐ Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ ÑÓ Ý ÓÔ Ò ÞØ ÖÓÔÓØ Ò Ñ A µ (x) Ø ¹ Ö Ó Ð Ñ Ö Ò ÞØ ÖÓ ÝÛ Ö Ò ÛÝÒÓ Þ Þ ÖÓº Æ ÙÑÓÛÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÞØ ÖÓÔÖ ¹ Ó Þ ÔÓ Ø Û α (µ) = ˆǫ i α /µ, µ Þ ˆǫ = i t / µ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Ó ÛÝÑ ÖÞ Ñ Ýº ÍÓ ÐÒ ÓÒ ÔÓÞÝÒ ÓÛ Û ÖØÓ ÞØ ÖÓÔÓØ Ò Ù ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ Û Þ ÒÝÑ Ù Þ Ò ØÔÙ Ó (Û(µ) ) A α S (t,x) = lim µ 0 Λα β A β (t,x). µ Ê ÙÒ ÓÔ ÖØÝ Ò ½ µ ÔÖÓÛ Þ Ó ÛÞÓÖ Û A 0 S 0, A S = 1 ( A). ¼µ ÈÖ Û ØÖÓÒ ÖÙ Ö ÛÒÓ Ø ÛÝÖ Ò Ñ Ò ÔÓØ Ò Û ØÓÖÓÛÝ A Coul. Û Ó¹ Û Ò Ù ÓÙÐÓÑ ØÞÒº A S A Coul.. ½µ Ï ÖØÓ Û Þ ÔÓÛÝ Þ ÒØÝÞÒÓ Ñ Ñ ØÝÐ Ó Û Ð ÝÞÒ Ø ÓÖ ÔÓÐ º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÞØ ÖÓÔÓØ Ò Ù ÛÞÓÖÓÛ Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ÓРݳ Ó¹ÏÓÙØ ÙÝ Ò Ø ØÙØ Ò ÓÛ Ò Ò ØÔÙ Ó A FW = 2 A S = 2 A Coul. = 2 ( A). ¾µ Ü Ú

15 Þ Á Í ØÓÖÝÞÒ ½

16

17 ÊÓÞ Þ ½ À ØÓÖ Þ Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò À ØÓÖ Þ Ò Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ø Ù Û º Ï ÐÙ ÙØÓÖ Û ÔÓ Ó Ö Ò Ò Ö ÛÒÓÛ Ò ÔÖÓÔÓÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ûº Æ Ø Ö ÔÖ Ø Ï ØÑ Ò ¾ Ó Þ ÖÒ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Þ Û Ò ÓÛ Ò Ñ ØÓ Ý Ø ÓÖ Ö ÔÖ Þ Ò¹ Ø ÖÙÔº ½º½ È ÖÛ ÞÝ Ø Ô ÖÓÞÛÓ Ù Ñ Ò Û ÒØÓÛ ËÞÞ ÐÒ Ø ÓÖ ÛÞ Ð ÒÓ ÞÓ Ø ÔÓ Ò ÔÖÞ Þ Ð ÖØ Ò Ø Ò Û ½ ¼ ÖÓ Ù Þ Ô Ò ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ñ Ò Û ÒØÓÛ Ò Ø Ô Ó ÔÓÒ Û Þ Ð Ø Ô õò º Å ÖÞÓÛ Ñ Ò Û ÒØÓÛ ÔÓÛ Ø Û ½ ¾ ÖÓ Ù ÛÒ Þ ÔÖ Û Ï ÖÒ Ö À ¹ Ò Ö Û Ô ÔÖ Ù Ó Þ Æ Ð Ñ Ó Ö Ñ ½ º Ï ØÝÑ ÑÝÑ ÖÓ Ù Å Ü ÓÖÒ È Ù Ð ÂÓÖ Ò ÛÖ Þ Þ À Ò Ö Ñ ÓÖ Þ Ò Þ Ð Ò È ÙÐ ºÅº Ö ÛÔÖÓÛ Þ Ð Û ÒØÓÛÝ ÞÛ Þ Ò ÔÖÞ Ñ ÒÒÓ Ô Ù ÔÓ Ó Ò ˆqˆp ˆpˆq = i. ½º½µ Ï ÖÓ Ù ½ ¾ ƺ ÓÖÒ ÓÖ Þ Æº Ï Ò Ö ÞÒ Ð õð ÔÖÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ó ÞÛ Þ Ù Û Ø ¹ Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ˆq Ø ÑÒÓ Ò Ñ ÔÖÞ Þ q ˆp Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ö Ò Þ Ù ÝÑ i / qº Ï ØÝÑ ÑÝÑ ÖÓ Ù ÖÛ Ò Ë Ö Ò Ö ÓÔÙ Ð ÓÛ ÛÓ ÝÒÒ Ö ÛÒ Ò ÐÓÛ º ÃÛ Ö Ø ÑÓ Ù Ù ÛÝ ØÔÙ Û Ò Ñ ÙÒ ÐÓÛ Ë Ö Ò Ö ØÖ ØÓÛ Ó Ô ÛÒ ÙÒ Û ÓÛ ÓÔ Ù Þ Ø Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò º ÈÓÒ ØÓ ÔÓ ÇÒ Ö ÛÒ Ò Ó Ó ÔÓÛ Ø ÙÒ Û ÓÛ º Â Ò ÛÒ ÔÖÓ Ð ØÝÞÒ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÙÒ ÔÓ ÓÖÒº Ë ÓÖÑÙ ÓÛ ÇÒ Ö ÛÒ ÔÓ Ø ÛÝ Û ÒØÓÛ Ø ÓÖ ÖÓÞÔÖ Þ ¹ Ò º ÈÓ Ó Ò ÓÛ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÖÒ Ý ÞÝ Ó ÙÓ ÐÒ ÓÒ Ð Ô Ù ÒÒÝ Û Ð Ó ÔÖÞ Þ ÏÓÐ Ò È ÙÐ Ó Û ½ ¾ Öºµº Ï Þ Þ Ò ØÝÑ Ó ÞÝ ØÓÖ Ò Ö ¹ Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ø Ö Ó Ø ÓÖ Ø Ó ÔÖÓ Ø ¾ º È ÛÒ ØÖÙ ÒÓ ÓÒ ÔÝ Ò ÑÓ ÔÖ Û ÝÒ Þ Ò ÓÞÒ ÞÓÒÓ À Ò Ö ÔÓ Ò Û ½ ¾ ÖÓ Ùº ½ ÈÖÞ Ø Û ÓÒ ØÙØ Ò ÓÖÑ Ó ÖÓÞÛÓ Ù ÔÓ Ø Û Ñ Ò Û ÒØÓÛ Ý Ý ÓÔÖ ÓÛ Ò Ò ÔÓ ¹ Ø Û Ö Ö ÀÙÒ Ì ØÓÖÝ Ó ÉÙ ÒØÙÑ Ì ÓÖÝ ½ º ¾ ÅÓÛ ØÙ Ó Ô Ø ÞÝÞÒÝ Ý Û Ô Ò Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÔÓ ÓÔ ÖØ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÞÙØÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ØÓ ÐÙ ØÖ Ð³ Ò ÖÓÞÛ Ò Ó Ô õò Ø Ö Þ ÖÓÞ Ù Ó¹ Û Ò º

18 Ê Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ñ Ò Û ÒØÓÛ Û ÖÓÞÛ ÒÝÑ Ó Ö Þ ÞÝÒ ÓÔ ÖÓ ÔÓÛ Ø ¹ Û º Ê ÛÒ Ò ÃÐ Ò ¹ ÓÖ ÓÒ ÞÓ Ø Ó ÞÒ Ð Þ ÓÒ Û ½ ¾ Ò Þ Ð Ò ÔÖÞ Þ Ë Ö Ò¹ Ö Çº ÃÐ Ò Ïº ÓÖ Ò Ïº º Ó º Ï Ò ØÔÒÝÑ ÖÓ Ù Ö ÞÒ Ð Þ Ö ÛÒ Ò ÔÓÛ Þ Ò ÞÒ Ò Ó Ö ÛÒ Ò Ö º ÈÓ ÓÒ Ð Ø ÛÙ Þ ØÝ ÔÓÛ¹ Ø Û Ý Ð Ñ ÒØÝ Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ Û ÒØÓÛ º Â Ò Þ Ô ÖÛ ÞÝ ÖÓÞÛ Ò Ø Ñ Ø Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ ÐÓ Ð Þ Þ Ø Ñ Ý Ñ ¹ Û ÓÒØ ØÞÛº Ö Û Ð ØÖÓÒÙ ØØ Ö Û ÙÒ µº Ï ½ ¼ Öº Ë Ö Ò Ö ¾ Þ ÙÛ Ý Ö Ò Û ÖØÓ ÔÓ Ó Ò ÛÓ Ó Ò Ó Ð ØÖÓÒÙ Ò ÞÑ Ò Ð Ò ÓÛÓ Û Þ Ø Û ÖÙ Ù ÒÓ Ø ÒÝÑ ÔÖÓ ØÓÐ Ò ÓÛÝÑ Ð Û ØÓÛÒ Ù ØÙÙ ÛÓ Ø ØÖ ØÓÖ Ò Ó Ð Ó ÖÞ Ù ÓÑÔØÓÒÓÛ Ù Ó Ð Ð ØÖÓÒÙ /mcº Ï ÐÙ Ö ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ù Ø Ó Þ Ò Ò ÛÔÖÓÛ Þ ÓÒ ÔÓ ÖÙ Ù Ñ ÖÓ ÓÔÓÛ Ó Ñ ÖÓ ÓÔÓÛ Óº ÊÙ Ñ ÖÓ ÓÔÓÛÝ Ø Ù Ö Ò ÓÒÝÑ ÔÓ Þ ÖÙ Ñ Ñ ÖÓ ÓÔÓ¹ ÛÝѺ Ï ÓÒ Û Ò Ë Ö Ò Ö ÔÖÓÔÓÒÙ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÔÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÔÓÛ Ó Ø ÖÝ ÔÖÞÝ Ö ÓÖÑ ˆR = x + i(ˆp Ĥ 2 D ˆα Ĥ 1 D )/2. ½º¾µ ÏÝ ØÔÙ ØÙØ Ñ ÐØÓÒ Ò Ö ĤD = ˆα ˆp+ ˆβm Þ ˆp Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ô Ù Þ ˆβ, ˆα i ØÓ Ñ ÖÞ Ö Ó Ò ØÔÙ Ý Û ÒÓ ÒØÝ ÓÑÙØ Ý ÒÝ {ˆα i, ˆα j } = 2δ ij ; {ˆβ, ˆα i } = 0; ˆβ2 = 1. ½º µ Í ÝÛ ÒÝ Ø ØÙØ Ù ÒÓ Ø Û Ø ÖÝ = c = 1 Ò ØÓÑ Ø ÔÓÖ ÝÞÒ ÛÝ Ø¹ ÔÓÛ Ò Ø Ý c Û ÛÞÓÖ ÔÓ Ý ØÓÛ Ò Ø ÛÞ Ð Ñ ÔÓ Ð ÓÛÝÑ ÐÙ Ð Ñ ÙÔÖÓ ÞÞ Ò ÓÖ ÔÓÒ Ò Þ Ù Ñ ËÁº ÈÖÓÔÓÒÓÛ ÒÝ ÔÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ˆR ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Û ÔÓ ÖÞÒ ºËº ÛÝ ÓÛ ½¼ Ϻ Ö Ò Ö ½ Þ Ø ÓÒ Þ Ò ÓÛ ÒÝ Ó Ô ÖÞÝ Ø Þ Üº ÇÔ Ö ØÓÖ Ò ÞÝÛ Ô ÖÞÝ ØÝÑ Ý Ø ÒÝ Ó Ó ØÒ Ò Ö ÔÖÞ ÞØ Û Ø ÒÝ Ó Ó ØÒ Ò Ö Ø ÒÝ Ó Ù ÑÒ Ò Ö ÔÖÞ ÞØ Û Ø ÒÝ Ó Ù ÑÒ Ò Ö º ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ô ÖÞÝ ØÝ Ò ÞÑ Ò ÞÒ Ù Ò Ö º Æ ˆP + ˆP ÓÞÒ Þ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÖÞÙØÓÛ Ò Ò Ø ÒÝ Ó ÔÓÛ Ò Ó Ó Ó ØÒ Ù Ñ¹ Ò Ò Ö ˆP ± = (1 ± ĤD/Ê)/2, ½º µ Þ Ê = m 2 Ø Ó ØÒ Ó Ó Ö ÐÓÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ò Ö º Ì Ö Þ Ô ÖÞÝ Ø Þ ÓÔ Ö ØÓÖ x ÓÞÒ Þ Ò Þ ÔÓÑÓ Ò Û Û Û Ö ØÓÛÝ ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ Û ÔÓ Ø [x] = ˆR = ˆP + x ˆP + + ˆP x ˆP. ½º µ Ï Þ Þ ÔÓÛÝ Þ ÛÝÖ Ò Þ Û Ö Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÔÓ Ó Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ð ØÖÓÒÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÔÓÞÝØÓÒÙº Ï Þ Þ Ò ÙÒ Ó Ó ØÒ Þ ØÓ ÛÝ ØÔÓÛ Ý ØÝÐ Ó Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ÖÝ ÙÔÖÓ Ý Ó ÔÓ Ø ˆR + = ˆP + x = x + [ ˆP +,x]. ½º µ Û Þ Þ Ò ÙÒ Ó Ù ÑÒÝ Þ ØÓ ÛÝ ØÔÓÛ Ý Ò ÐÓ ÞÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ˆR º ØÛÓ ÛÝ Þ ˆR ± = x + iˆp iˆα ½º µ 2Ê2 2Ê. Ï ÞÝ Ø Ñ ÐØÓÒ ÒÝ Û ØÝÑ ÖÓÞ Þ Ð Ó ÛÖ ÐÒ Ò ÔÓ Þ ÖÓÛÝ Û ÖØÓ Û ÒÝ µº

19 Ï ÖØÓ Þ ÙÛ Ý Ô ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ô ÖÞÝ ØÝ ˆR Ò Ø ÙÑ Ò Ö Ò ÖÝØÑ ØÝÞÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ˆR + ˆR º ÏÔÖÓÛ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ˆR Þ Ñ Ø x ÖÓÞÛ ÞÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØØ Ö Û ÙÒ Ð ÔÖÓÛ Þ Ó ÒÒ ÓÑÔÐ º Ç ÞÙ Ñ ÒÓÛ ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ˆR Ò ÓÑÙØÙ º Ï Ø Ñ ÓÔ Þ Ø Ñ Ò ÑÓ Ò ÖÓÞÛ ÓÛÓÐÒ Ó ÖÞ ÞÐÓ Ð ÞÓÛ Ò Ó Ð ØÖÓÒÙº Ò Ò Ø Ó ØÝÔÙ ÓÖ Þ Ô ÛÒ ØÝ Þ Û ÒØÓÛ Ø ÓÖ ÔÓÐ ÔÓÛÓ ÓÛ Ý ÔÓÛ Ø Ò ÔÓÔÙÐ ÖÒ Ó Þ ÓÔ Ò Û Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ñ Ò Û ÒØÓÛ Ò ÑÓ Ð Û Ø ÐÓ Ð Þ Þ Ø Ó Ò Þ Ó ÓÑÔØÓÒÓÛ Ù Ó Ð º Æ Ò Þ ÔÖ ÔÖ Ù ÔÓÐ Ñ ÞÓÛ Þ Ø ÓÔ Ò º ½º¾ áöó Ñ Ý¹ Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ÈÖÝ ³ Ï ½ ÖÓ Ù Æ Ð ÓÖÒ Ä ÓÔÓÐ ÁÒ Ð Û ÔÖ Ý Ó Û ÒØÓÛ Ò Ù Ò Ð Ò ÓÛ Ð ¹ ØÖÓ ÝÒ Ñ Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ Ð Ó ÐÒ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ó ÔÓ Ó Ò ÖÓ Ñ Ý¹ Ò Ö ˆq = (Ĥ 1 ˆN + ˆN Ĥ 1 )/2, ½º µ Þ ˆN Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÑÓÑ ÒØÙ Ò Ö ˆN = x ˆT 00 d 3 x, ½º µ ÔÖÞÝ ÞÝÑ ˆT 00 ØÓ ÓÛ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ó Ø Ò ÓÖ Ò Ö ¹Ô Ù ˆT µν Ò ÞÝÛ Ò ØÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÙ ÐÙ Ò Ö º Ç Ø ØÒ Û ÛÞÓÖÝ ÑÓ Ò ÖÓÞÙÑ Û ÓÒØ Û ÒØÓÛ Ø ÓÖ ÔÓÐ Ø Ò Û ÒÓÞ Ø ÓÛÝ Ð Ó Þ Ó Ò Þ ÓÖÑ Ð ÞÑ Ñ ØÞÛº Ô ÖÛ Þ Û Ò¹ ØÝÞ Ò ÞÝÛ ÒÝÑ Þ Ñ Û Þ Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ñ Ò Û ÒØÓÛ º Ð ÐÙ ØÖ Ø Ó ÖÙ Ó ÔÖÞÝÔ Ù Û ÙÔÖÓ ÞÞÓÒ Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Û Ö Û ÖØÓ ÔÓ ÔÖÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ØÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÙ Û ÞÛÝ Ø ÓÖ Ë Ö Ò Ö ˆT 00 (x) = Ĥ(x) = 1 2m δ(3) (x). ½º½¼µ ÇÔ Ö ØÓÖ ØÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÙ ÓÑÙØÙ Þ x Ó Þ Ô ÛÒ ÖÑ ØÓÛ Ó Ó Ö ÐÓÒ Ó ˆNº ÇÔ Ö ØÓÖ ˆq ÑÓ Ò Ö ÛÒ ÔÖÞ Ø Û ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò Ö ØÓÖ Û ÖÙÔÝ ÈÓ Ò Ö Ó Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò À Ð ÖØ Ø ÖÝÑ ÞØ ÖÓÔ ˆp µ Ø Ò ÓÖ ÓÛ Ø Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù Ĵµν º Ò Ö ØÓÖÝ Ø ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ ÔÖÞ Þ ÝÑ ØÖÝÞÒÝ Ø Ò ÓÖ Ò Ö Ô Ù Ò ØÔÙ Ó ˆp µ = ˆT µν dx ν ; Ĵ µν = (x µ ˆTνρ x ν ˆTµρ ) dx ρ, ½º½½µ Ω Þ Ω Ø ÓÛÓÐÒ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÓÔÓ Ó Ò dx ρ Ø ÖÓÛ Ò ØÖ ÓÖÑ Ó ØÓ Ø dx 0 = d 3 xº ÌÙØ Þ ÖÓÛ ÓÛ ÞØ ÖÓ¹ Ô Ù ÙØÓ Ñ Ò Ø Þ Ñ ÐØÓÒ Ò Ñ ˆp 0 = Ĥ ÑÓÑ ÒØ Ô Ù Ð ÞÓÒÝ Ø ÛÞ Ð Ñ ÅÓÑ ÒØ Ñ Ò Ö Ò ÞÝÛ Ø Ò Ý Û ØÓÖ Ô Ò ˆK i = Ĵi0 = ˆN i tˆp i Þ Ĵµν Ø Ø Ò ÓÖ Ñ ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ùº ÅÓ Ò ÔÓÛ Þ ˆN(t) ˆK ØÓ Ø Ñ Ó ÖÛ Ð Û Û Ö ÒÝ Ó Ö Þ Ó ÔÓÛ Ò Ó À Ò Ö Ë Ö Ò Ö º Ï Þ Þ Ø Û ÓÖÑ Ð ÞÑÝ ÔÓÛ ÒÒÝ Ý ØÓ Ñ Ð Û Ø ÓÖ Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ö Ò ÓÒ Ó Ý Ó ØÒ Ó Ö ÐÓÒÓ Ĥº ÓÖÑ Ð ÞÑ Ô ÖÛ Þ Û ÒØÝÞ Û ÓÒØ ÔÓÐÓÛÝÑ Ø Ò ÞÝÛ ÒÝ Ð ÝÞÒ Ø ÓÖ ÔÓÐ º Ω

20 ÔÓÞ Ø Ù Ù Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ º ÇÔ Ö ØÓÖ ÓÖÒ ¹Á Ð ÑÓ Ò Ø Ö Þ ÔÖÞ Ô Û ÔÓ Ø ˆq µ (t) = {Ĵµ0 + tˆp µ, Ĥ 1 }/2, ½º½¾µ Þ Ò Û Ð ÑÖÓÛÝ ÓÞÒ Þ ÒØÝ ÓÑÙØ ØÓÖ Þ ÓÛ ˆq 0 = t Ø ØÙØ Ó ÞÓ¹ Ò ØÝÐ Ó Þ ÛÞ Ð Û Ø ØÝÞÒÝ Ý ÖÓÞÛ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ò Ø Û Ð ÓÛ Ö ÒØÒÝÑ ÞØ ÖÓÛ ØÓÖ Ñº ÈÓ Ø Þ Ð ÒÓ Ó Þ Ù Û ½º½¾µ ÔÓÞÛ Ð ÔÖÞÝÔÙ Þ¹ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÒ ¹ÁÒ Ð Ø Þ Ò ÓÛ ÒÝ Û Ó Ö Þ À Ò Ö º ÈÖ Û Ó¹ ÛÓ Ø Ó ÔÖÞÝÔÙ ÞÞ Ò ÔÓØÛ Ö Þ Ö Ù ÓÑÙØ ½º½ µ ÓÔ Ö ØÓÖ ˆq Þ Ñ ÐØÓÒ Ò Ñ ÔÓ Ò Ð º ÓÖÒ ÁÒ Ð ÛÝ Þ Ð Ò ÓºÔº ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò µ Ð Þ Ø Ó Ô ¹ Ò ½»¾ ÔÖÓÛ Þ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ë Ö Ò Ö ˆR º ÛÖ Ð ÓÒ Ø ÙÛ Ò ÓºÔº ÔÓ Þ Ó Ó Ö Ð Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÔÖ Ó Ô ÒÙ ÓÖ Ø ÐÒ Ó ÑÓ¹ Ñ ÒØÙ Ô Ù Ú Ú Ö µº ÏÓ Ø Ó Þ Ò ÓÛ Ð ÓÒ Û ÛÒØÖÞÒÝ ÑÓÑ ÒØ Ô Ù ÞÝÐ Ô Òµ Ó Ö Ò ÓÛ Ø Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù Ĵ = ( Ĵi0 ) = (Ĵ23, Ĵ31, Ĵ12 ) ÓÖ Ø ÐÒ Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù Þ Ò ÓÛ Ò Ó Ó ˆq ˆp ÞÝÐ ŝ = Ĵ ˆq ˆp ÐÙ ŝkl = Ĵkl ˆq kˆp l + ˆq lˆp k, ½º½ µ ÔÖÞÝ ÞÝÑ Û ØÓÖ Ô ÒÙ ŝ Ø Ù ÐÒÝ Û Ò ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝѵ Ó ÒØÝ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ó Ø Ò ÓÖ Ô ÒÙ ŝ kl ØÞÒº ŝ i = ε ijk ŝ jk /2º À ÖÑ ØÓÛ Ó Þ Ò ÓÛ Ò Ó Ô ÒÙ ÛÝÒ Þ ÞÛ Þ Û ÓÑÙØ Ý ÒÝ Ô Ù ÔÓ Ó Ò º Ó ÞÒ Ð Þ Ò ØÝ ÞÛ Þ Û ÑÓ Ò ÛÝ Ó¹ ÖÞÝ Ø Ö Ð ÓÑÙØ Ò Ö ØÓÖ Û ÖÙÔÝ ÈÓ Ò Ö Ó [ˆp µ, ˆp ν ] = 0; [Ĵαµ, Ĵνω] = ig {αω Ĵ µν}sum. cykl. ; [ˆp α, Ĵµν] = i(g αµˆp ν g αν ˆp µ ); ½º½ µ ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÔÖ Û ØÖÓÒ ÖÙ Ó Ö ÛÒ Ò Ø ÙÑ ÞØ Ö Ò Û Ó Ý Ð ÞÒ Ô ÖÑÙØÓÛ ÒÝ ÝÛÝ Û õò º ÏÝÔÖÓÛ Þ Ò ÔÓÛÝ ÞÝ ÞÛ Þ Û ÓÔ ÖØ Ò Ö Ù ÓÑÙØ Ð Ø Ò ÓÖ Ò Ö ¹Ô Ùµ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Û ÔÓÞÝ º ÈÖÞÝ ØÒÝ Ø Ö ÛÒ ÛÞ Ö Ò ÓÑÙØ ØÓÖ Þ Û Ö Ý Ó ÛÖÓØÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ [ 1, ˆB] =  1 [Â, ˆB] 1. ½º½ µ ÅÓ Ò Ø Ö Þ Þ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÛÝÐ ÞÝ ÓÑÙØ ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÞØ ÖÓÔ Ù [ˆq k, ˆp l ] = iδ kl ; [ˆq, Ĥ] = iˆp/ĥ. ½º½ µ Ë ØÓ Û Ô Ò Þ Û Ð ÓÑÙØ ØÓÖÝ Û ÞÞ ÐÒÓ Ø Ò ÖÙ ÔÖÓÛ Þ Ó ÔÓÔÖ Û¹ Ò Ò ÔÖ Ó Û Ñ Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ º ÅÒ ÓÖÞÝ ØÒ ÔÖÞ Ø Û ÔÖ Û ÒÒÝ ÓÑÙØ ØÓÖ Ûº Ç Þ Ó Ò Ø ØÝ ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÓÖÒ ÁÒ¹ Ð Û Ô ÖÞ Ò Ò ÓÑÙØÙ º ÃÓÑÙØ ØÓÖÝ ÓÛÝ ÔÓ Ó Ò ÞÓ Ø Ý Þ Ö Ò Þ Ô Ò ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÐÓÞÝÒÙ Û ØÓÖÓÛ Ó ÛÝÒ Ó Ý ˆq ˆq = iŝ/ĥ2 ÐÙ [ˆq k, ˆq l ] = iŝ kl /Ĥ2. ½º½ µ ÊÞ ÞÝÛ ÔÖÞÝ ÑÙ ˆN = (Ĥx + xĥ)/2 ØÛÓ ÛÝ Þ Ö ÛÒÓÛ ÒÓ ÓÖÑÙ ½º µ ½º µº Å ÑÓ ØÓ Ù ÝÛ Ò ØÙØ Ö Ò ÓÞÒ Þ Ò º ÆÔº ÓÛ (ˆq ˆq) 1 = [ˆq 2, ˆq 3 ]º

21 ÃÓÑÙØ ØÓÖÝ Ø ÞÓ Ø Ý ÔÖÞ Ø ÙÑ ÞÓÒ Ò Ó Ò ÛÝÖÓ Ø Ò Þ Ò ÓÞÒ ÞÓÒÓ ÔÓ¹ Ó Ò Ð ØÖÓÒÙ q 1 q 2 2 4m 2. ½º½ µ á Ð Þ Ñ Ø ÞÒ Ù Û ÞÓ ÔÓÛ ÒÒ ÞÒ ÓÛ ØÙØ ØÝÐ Ø Ö ÓÞÒ Þ Ý ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒÝ ÖÞ Û Ð Ó º Ê ÛÒ ÞÛ Þ ÓÑÙØ Ý ÒÝ ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ Ó Ô ÒÙ Ò Ý Þ Ó ÒÝ Þ ÓÞ Û Ò Ñ Þ Ø Ò Ö ÓÛ Ø ÓÖ Û ÒØÓÛ Ý Þ Ô ÒÝ Û ÔÓ Ø ŝ ŝ = iŝ iĥ 2 (ŝ ˆp)ˆp. ½º½ µ Ï ØÝÑ ÑÝÑ ÖÓ Ù ÔÓ ÛÔ ÝÛ Ñ ÔÖ Ý ÓÖÒ ÁÒ Ð ØÓØÒÝ ÔÓ ØÔ Û Ó¹ ÓÒ ÅÓÖ ÀºÄº ÈÖÝ ¾¾ º Ò ÓÛ ÓÒ ÓÑÙØÙ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ ÓÖ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ô ÒÙ Ó Ø Ò Ö ÓÛÝ Û ÒÓ ÓÑÙØ º Â Ó ÓÒ ØÖÙ ÔÖÞ Ò Û ÒÒ ÓÐ ÒÓ Ò ÓÖÒ ¹ÁÒ Ð º Å ÒÓÛ ÈÖÝ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ô ÖÛ ÓÔ Ö ØÓÖ Ô ÒÙ Ô õò ÓÒ Û ÒØÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò º Ç Ò ÈÖÝ ³ ÞÓ¹ Ø Ò ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÔÓÒ Û Ù Ý Ø Ñ ØÝÞÓÛ Ò ÓÖÑ Ð ÔÓ Ø ÛÓÛ ÛÝ ØÔÙ ØÙ Ó ØÝ ØÓ Ñ ÓÖÝ Ò ÐÒÝѺ Ï Ô ÖÛ ÞÝÑ ÖÓ Ù ÞÓ Ø ÛÝ Þ ÐÓÒ Þ Ô ¹ ÒÓÛ ÓÛ Ø Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ùº Ï ÓÔ ÓÛ Ö ÒØÒÝÑ Ø Ò ÓÖ ÓÛ Ø Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù Ĵµν ÑÓ Ý ÖÓÞ Ó ÓÒÝ Ò ÙÑ Ø Ò ÓÖ ÓÖ Ø ÐÒ Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù ˆΛ µν Ø Ò¹ ÓÖ Ô ÒÙ ˆΣ µν º ËØÓ ÓÛ Ò Ö ÛÒ Ø Ò ÓÖÝ Ù ÐÒ Ó ØÝ ÓÞÒ Þ Ò Û Þ ÀÓ ³ Ò ÓÛ Ò Ó Ĵµν = ε µνρσ Ĵ ρσ /2 ÔÖÞÝ ÞÝÑ Ð ÓÛ ÒØÝ Ý¹ Ñ ØÖÝÞÒ Ó ÝÑ ÓÐÙ ÔÖÞÝ Ø Ø ØÙØ ÓÒÛ Ò ε 0123 = 1º ÈÓ ØÙÐÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÑÓ Ò Ø Ö Þ ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ ØÓ ÙÒ ÓÛÓ ÔÖÓ ØÓ Þ ÙÛ Ù ÐÒÝ Ø Ò ÓÖ ÓÖ Ø ÐÒ Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù Ø ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ Ó ÞØ ÖÓÔ Ù ÐÙ ÞØ ÖÓÔÖ Ó µ Ò Þ Ð Ò Ó ÔÓ¹ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò º ÏÓ Ø Ó ÞÛ Ò Ù ÐÒ Ó Ø Ò ÓÖ ÓÛ Ø Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù Þ ÞØ ÖÓÔÖ Ó Ö Ø ÖÝÞÙ ØÝÐ Ó Þ Ô ÒÓÛ Ø Ó Ø Ò ÓÖ º Ç ÞÙ ØÓ ÞÛ Ò Ø ÞØ ÖÓÛ ØÓÖ Ñ È ÙÐ ¹ÄÙ Ó Ŵ µ = Ĵµνû ν, ½º¾¼µ Þ ÞØ ÖÓÔÖ Ó û ν = ˆp ν /m ÔÖÞÝ ÞÝÑ Ñ ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ Ö ÛÒ Ò Ñ m = ˆp µˆp µ. ½º¾½µ ÙÛ ÑÝ Û Ò Ŵ µ ÓÐ ÒÓ ÞÛ ÓÒ Ó ÐÓÞÝÒÙ Ù ÐÒ Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù ÞØ ÖÓÔÖ Ó Ò Ó ÖÝÛ ÖÓÐ Þ Þ ÑÙ ÓÔ Ö ØÓÖ È ÙÐ ¹ÄÙ Ó Ø Ö¹ Ñ ØÓÛ º ÏÝÒ ØÓ Þ ØÖÞ Ó ÓÑÙØ ØÓÖ Ò Ö ØÓÖ Û ÖÙÔÝ ÈÓ Ò Ö Ó Ø ÖÝ Þ ÖÙ Ý Û ÞÝ Ø ØÖÞÝ Û õò Ö Ò º Ê ÛÒ Ò ÔÓ Ø Û Ø Ó ÓÑÙØ ØÓÖ ÑÓ Ò ÔÓ Þ Ŵµ ÓÑÙØÙ Þ ÞØ ÖÓÔ Ñ ÐÙ ÞØ ÖÓÔÖ Ó µº ÞØ ÖÓÛ ¹ ØÓÖ Ŵ µ Ø Þ Ò ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ Ó ÞØ ÖÓÔÖ Ó º Ï ÓÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÞÙØÙ Ò ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÞØ ÖÓÔÖ Ó Ñ ÔÓ Ø ˆP µν = g µν û µ û ν º ÅÓ Ò Ø Ö Þ Þ Ò ÓÛ Ù ÐÒÝ Ø Ò ÓÖ Ô ÒÙ Ó Ù ÐÒÝ Ø Ò ÓÖ ÓÛ Ø Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù Þ Ó Ø Þ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÞØ ÖÓÔÖ Ó ˆΣ µν = Ĵµν ˆP µρ ˆP νσ ( Ĵρσ ) = Ŵµû ν Ŵνû µ. ½º¾¾µ Æ ÔÓ Ø Û Ø Ó Ö ÛÒ Ò ØÛÓ Þ ÙÛ Ý ÞÛÝ Ý Ø Ò ÓÖ Ô ÒÙ Ò Ù ÐÒݵ Ø ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÝ Ó ÞØ ÖÓÔÖ Ó º ÏÝ Ó Þ Þ Ø Ó ØÙ ÑÓ Ò Ý ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ ÌÞÒº ˆΛ µν ˆp ν = 0 Ý ÔÖÞÝ ÑÙ Ø Ò ÓÖ ÓÖ Ø ÐÒ Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù Ø ÔÓ Ø Û ØÓ¹ ÖÓÛ ˆΛµν = Ŷµˆp ν Ŷν ˆp µ Þ Ŷµ Ø Ô ÛÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ó ÖÞÓÒÝÑ Þ ÔÓ Ó Ò Ñº

22 ÓÒ ØÖÙ Ó ÔÓÞ Ø Ù Ò Ó ÛÓ Ù Ó Ø Ò ÓÖ Û Ù ÐÒÝ Ð Ö ÛÒÓÛ Ò Ò Ù¹ Ø Ò ÓÖ Ô ÒÙ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÞØ ÖÓÔÖ Ó Þ Ø Ò ÓÖ ÓÛ Ø Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù ˆΣ µν = ˆP µρ ˆP νσĵρσ. ½º¾ µ Ï ÛÞÓÖÞ ØÝÑ Ó ÖÝÛ ÖÓÐ ÔÓÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÛÝ Ø ÖÞÝ Ý ÓÔ Ö ¹ ØÓÖÝ ÖÞÙØÓÛ Ø Ý Þ Û Þ ÔÓ Ø Ñ ØÖÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù Ó Þ Ô ÛÒ ÒØÝ ÝÑ ØÖ ÖÑ ØÓÛ Ó Ø Ò ÓÖ Ô ÒÙº Ì Ò ÓÖ Ô ÒÙ ÑÓ Ò ÓÔ ÛÓÑ Û ¹ ØÓÖ Ñ Û ØÓÖ Ñ Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ó Ô ÒÙ ˆΣ = ( ˆΣ i0 ) = (ˆΣ 23, ˆΣ 31, ˆΣ 12 ) ÓÖ Þ Û ØÓÖ Ñ ˆΓ = (ˆΣ i0 ) = û Ŵ Þ û, Ŵ ØÓ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒ Þ ÞØ ÖÓÔÖ Ó ÞØ ÖÓÛ ØÓÖ È ÙÐ ¹ ¹ÄÙ Óº Ï Û ØÓÖ ˆΓ ÞÒ ØÓ ÑÓ ÓÛÓ Û Ù Þ ÔÓÞÝÒ¹ ÓÛÝÑ Þ Ø Ñ Ø Ò ÓÖ Ô ÒÙ ÑÓ Ý ÓÔ ÒÝ ÒÝÑ Ò Þ Ð ÒÝÑ Û ØÓÖ Ñº Ç Ø Ø ÞÒ ÈÖÝ Ó Û ØÓÖ Ô ÒÙ ÛÔÖÓÛ Þ ÔÓÞÝÒ ÓÛ Û ÖØÓ ˆΣ ÐÙ Ö ÛÒÓ¹ Û Ò ÔÓÞÝÒ ÓÛ Û ÖØÓ Ŵ ÐÙ ŝº ÇÔ Ö ØÓÖ Ø Ò Þ Ò ÞÝÛ ÒÝ Û ØÓÖ Ñ Ô ÒÙ ÔÓÞÝÒ ÓÛ Ó ÓÞÒ Þ ÒÝ ÝÑ ÓÐ Ñ ÓÐ Ö ˆ = Ŵ + (1 + û 0) 1 Ŵ 0 û, ½º¾ µ ÔÖÞÝ ÞÝÑ Ð Ø Ù ÝÛ ÒÝ ÓÖÑ Ð ÞÑ Ô ÖÛ Þ Û ÒØÝÞ Ò Ð Ý Þ ÓÛ Ó ØÖÓ ¹ ÒÓ Ó Ö Ò Þ Ó Ø Ò Û Ó Ó ØÒ Ò Ö Ó Þ Ô ÛÒ Ó ÛÖ ÐÒÓ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ 1 + û 0 º Æ ØÔÒ ÈÖÝ ÛÝ Ó Þ Þ Ö ÛÒ Ò Ĵ = ˆQ ˆp + ˆ ÞÒ Ð Þ ÒÓÛ Ò ÓºÔº ˆQ Ø Ö ÑÓ Ò Þ Ô ÔÖÞÝ Ù Ý Ù ÒØÝ ÓÑÙØ ØÓÖ Û ÔÓ Ø ˆQ = { ˆN (1 + û 0 ) 1ˆΓ, Ĥ 1 }/2. ½º¾ µ Ï Û Ö ÖÓÞÔ Ò Ö ÛÒ Ò ØÓ Ñ ÔÓ Ø ˆQ µ (t) = {tˆp µ + Ĵµ0 (1 + û 0 ) 1ˆΣµ0, Ĥ 1 }/2, ½º¾ µ ÔÖÞÝ ÞÝÑ ØÛÓ ÔÖÞ ÓÒ ˆQ 0 = t Ó Û ÞÝ Ó ÓÒ Ý Ø Ò Þ Ò ÓÛ Ò Ó Ó ØÙ Ð Ò Ó Ó ÓÛ Ö ÒØÒÓ º ÈÓÛÝ ÞÝ ÛÞ Ö Ñ Ý ÞÙÔ Ò ÒÓÐ Ø ÓÖÑ Ý Ý Ò Ó ÒÓ Þ ÓÛ Ó ÞÝÒÒ (1 + û 0 ) 1 Þ Ø Ö Ó Û Ò ˆQµ Ûݹ ØÔÓÛ Ý ØÝÐ Ó ÓÖ Ø ÐÒÝ ÑÓÑ ÒØ Ô Ù ÞØ ÖÓÔ º Ç ÞÙ Ò Ó ÒÓ Ø Ó ÞÝÒÒ Ø ÐÙÞÓÛ ÔÓÒ Û Þ Ò Ó ÖÓÞÛ ÒÝ ÓºÔº ÔÓ Ý ÒØÝÞÒ ÞÛ Þ ÓÑÙØ Ý Ò ½¼ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ˆXµ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝ Ð Ø Ö Ó ÓÛ Ò ÓÑÙ¹ ØÙ º Ï Û Ö ÓÖÝ Ò ÐÒ ÈÖÝ ÔÓ ÛÞ Ö Ò ˆQ Û Ò Ó ÒÒ ÓÖÑ Ó ÛÓ Ù Ó Û Ð Ó ÛÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÓÖÒ ÁÒ Ð ˆ ˆp ˆQ = ˆq + m(m + Ê). ½º¾ µ ÙØÓÖ ÓÑ Û Ò Ó ÖØÝ Ù Ù Ò ÔÓ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÑ ØÖÝÞÒ ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ Ó Ô ÒÙ ÔÓÞÝÒ ÓÛ Ó ˆ º Å ÑÓ ØÓ ÈÖÝ Ó Ò Ó ÖÓÑÒÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝ Ù ÞÒ Ù Ó ÖÛ Ð ˆQ ˆ Ô Ò Û Ô Ò ØÝ ÓÒÙ Ö Ù Ý ÓÑÙØ Ý Ò ˆ ˆ = iˆ ; ˆQ ˆQ = 0 ; [ ˆQk, ˆp l ] = iδ kl. ½º¾ µ Ï Û ÔÓ Ó Ò ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÈÖÝ ³ ÔÓ Ò Ó ÛÓ Ù Ó ÔÓ¹ ÖÓ Ò Ö Þ Ù Ø ÐÒ ÛÝ Ð Ñ ÒÓÛ Ò Þ Ô ÒÓÛ ÓÖ Þ ÔÓ Ò Û ÒÓ ½¼ ÓØÝÞÝ ØÓ Ó Ò ÑÒ ØÝ ÓÑÙØ ØÓÖ Û Ø Ö Ð ÛÝÔ Ò º

23 ÓÔ Ö ØÓÖÓÛ Û Ò ÓÑÙØ ØÓÖ Ûµº ÇÔ Ö ØÓÖ ˆQ µ Ò Ø ÒÓÛ Ò ÞØ ÖÓÛ ØÓÖ Ð Ó Ð Ò Ò Ð Ý Ø Ó ÛÝÑ Ó ÓºÔº ÈÓÒ ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÈÖÝ ³ Ò Ø Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒÝ Ð Þ Ø ÞÑ ÓÛÝ Þ Ô Ò Ñ ½½ º Ø Ø Ò ÛÝÒ ÞÔÓ Ö Ò Ó Þ ÛÞÓÖÙ ½º¾ µ Û Ø ÖÝÑ Ñ ÛÝ ØÔÙ Û Ñ ÒÓÛÒ Ù Û ÞÝ Ø ÒÒ Û Ð Ó Ò Ó Ó Ð Û º ÇÑ Û Ò ØÖÙ ÒÓ Ø ÓÒ Û Ò Ò ØÒ Ò Ù Ù ÔÓÞÝÒ ÓÛ Ó Û Ô ÒÙ ÔÓÞÝÒ ÓÛ Ó ˆ Ð Þ Ø ÞÑ ÓÛÝ º Æ ÓÛ Ö ÒØÒÝ Ö Ø Ö Ø Ó Ó Ø ØÒ Ó Ô ÒÙ Ø Ö ÛÒ Ò Þ ÓÛ Ð Ýº ÈÓ ÖÙ ÛÓ Ò Û ØÓÛ ÈÖÝ ÓÒØÝÒÙÓÛ Ò Ò ÓºÔº Û ½ ÖÓ Ù ÓÔÙ Ð ÓÛ ÔÖ Ó Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒÝÑ ÖÓ Ù Ñ Ý¹ Ò Ö ¾ º Ï ÔÖ Ý Ø ÙØÓÖ Ý ¹ ÙØÙ Ð ÔÖÓÔÓÞÝ Ø Ò º Û Þ Ò ØÓ ˆq ˆQ Þ ÓÐ Ò Û Ó ÛÓ ÝÛ Ý Ó ÔÓÞÝÒ ÓÛ Ó ÖÓ Ñ Ý¹ Ò Ö ÖÓÞÛ Ò Ó Ñ ÞÝ ÒÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ó Ö ½½ Û ½ ¾ ÖÓ Ùº ÈÖÞ Þ ÔÓÞÝÒ ÓÛÝ ÖÓ Ñ Ý¹ Ò Ö Ò Ð Ý ÖÓÞÙÑ ÖÓ Ò Ö¹ Û Ò ÓÖÒ ¹ÁÒ Ð Ó Ð ÞÓÒÝ Û Ù Þ ÔÓÞÝÒ ÓÛÝѺ ÅÓ Ò Ó ÛÝÖ Þ Û ÒÓØ ÓÛ Ö ÒØÒ Ò ØÔÙ Ó Ŷ µ (τ) = τû µ + {Ĵµν, û ν }/2m, ½º¾ µ Þ û µ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÞØ ÖÓÔÖ Ó τ Þ Ñ Û ÒÝÑ ØÖ ØÓÛ ÒÝÑ ØÙØ Ó ÞÛÝ Ý Ð Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖµº ÈÓ Ø ÛÓÛ ÞÛ Þ ÓÑÙØ Ý Ò Ð Ø Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÔÓ Ø [Ŷµ, ˆp ν ] = i ˆP µν = i(g µν û µ û ν ) ; [Ŷµ, Ŷν] = iĵµν/m 2. ½º ¼µ Æ Ø ØÝ Ò ØÓ ÞÛ Þ ÓÑÙØ Ý Ò ÑÓ Ò Ý ÓÞ Û Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó ¹ Ò º È ÖÛ ÞÝ ÞÛ Þ Ò ÓÖ ÔÓÒ Ù Þ Ò ÐÓ ÞÒÝÑ ÞÛ Þ Ñ Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒÝÑ Þ ÛÝÒ ÖÙ Ó ÓÑÙØ ØÓÖ Þ Ð Ý Ó ÔÙÒ ØÙ ÛÞ Ð Ñ Ø Ö Ó Ð ÞÓÒÝ Ø ÑÓÑ ÒØ Ô Ùº ÈÖÞÝ Ø Ò Ø Ö ÙÑ ÒØ Ñ Ò ØÓ Ò Ò Ð Ý ÛÝÑ Ý ÓºÔº Ý Û Ð Ó¹ ÓÛ Ö ÒØÒ º Å ÑÓ ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ŷ µ ÑÓ ÞÓ Ø Ù ÝØÝ Ó ÛÝÖ Ò ÓÛ Ö ÒØÒ Ó ÓÖ Ø ÐÒ Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù ˆΛ µν (τ 0 ) = Ŷµ(τ 0 )ˆp ν Ŷν(τ 0 )ˆp µ, ½º ½µ Þ τ 0 Ø ÓÛÓÐÒ ÛÝ Ö ÒÝÑ Þ Ñ Û ÒÝѺ Æ ØÓÑ Ø ÓÛ Ö ÒØÒÝ Û ÛÒØÖÞÒÝ ÑÓÑ ÒØ Ô Ù Ö ÛÒÝ Ö Ò Ý ÓÛ Ø Ó ÓÖ Ø ÐÒ Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ù ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÛÞÓ¹ Ö Û Ò Ò Ö ØÓÖÝ Ĵµν, ˆp µ ÑÓ Ý Þ Ô ÒÝ Û ÔÓ Ø ˆΣ µν = [(x µ Ŷµ) ˆT νρ (x ν Ŷν) ˆT µρ ] dx ρ, ½º ¾µ Ω Þ Ó Þ Ö ÓÖÑ Ó ØÓ Ó Ö ÐÓÒ Û Ø Ò Ñ ÔÓ Ó Û ÛÞÓÖÞ ÒÔº Ò Ò Ö ØÓÖ ˆp µ º ÈÓÛÝ Þ Ö ÛÒ Ò Ø ÔÓ Ø Û ÔÖÓ Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ø Ò ÓÖ Ô ÒÙ Û ¹ Ù Ø Ö Ø ÓÒ ÑÓÑ ÒØ Ñ Ô Ù Ó Ð ÞÓÒÝÑ ÛÞ Ð Ñ ÓÛ Ö ÒØÒ Ó ÔÓÞÝÒ ÓÛ Ó ÖÓ Ñ Ý¹ Ò Ö º Æ ØÔÒ ÈÖÝ Ö Ô Ö Ñ ØÖÝÞÙ ÓÔ Ö ØÓÖ Ŷ µ (τ) ÔÖÞ Ó Þ Ó Þ Ù Û Ò Ó τ Ó Þ Ù t Û Ô ÛÒÝÑ Ù Ø ÐÓÒÝÑ Ù Þ Ó Ò Ò º Ï Ø ÓÖ Ð ÝÞÒ Û Ø Ö Y µ (τ) ÓÔ ¹ Ù ÔÖÓ Ø Û Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ö Ô Ö Ñ ØÖÝÞ Ò Ò ÖÙ Þ Û Ô ÞÑ ÒÒ ÞÓ º ÁÒ Þ ÔÖÞ Ø Û ÝØÙ Û Û Ö ÓÔ Ö ØÓÖÓÛ Û Ø Ö Ö Ô Ö Ñ ØÖÝÞ Ñ Û Ô ÞÑ ÒÒ ÞÓ ÓºÔº ÐÙ ÒÒÝÑ ÓÛÝ ÔÖÓÛ Þ Ó ÒÓÛ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ º ÅÓ Ò Ó ØÝÑ ÔÖÞ ÓÒ ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ô Ò ÓÒ ØÖÙ º Ï Ô ÖÛ ÞÝÑ ÖÓ Ù Ò Ð Ý Þ Ó Ý Þ Û ÒÝ Ø ÖÑ ØÓÛ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ˆτ ÒÓÛÝ ÓºÔº ˆXµ Ñ ÔÓ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ŷ µ ½½ Ö Þ ÞÞ ÓÛÓ ÔÖÞÝÔ Ø Þ Ø Þ Ý ÙØÓÛ ÒÝ Ð º

24 Û Ø ÖÝÑ Þ Û ÒÝ ÞØ ÖÓÔÖ Ó ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò ÝÑ ØÖÝÞÒ Ð Þ Ô ÛÒ Ò ÖÑ ØÓÛ Ó ÞÝÐ ˆXµ (ˆτ) = {ˆτ, û µ }/2 + {Ĵµν, û ν }/2mº Æ ØÔÒ Ò Ð Ý ÖÓÞÛ ¹ Þ Ö ÛÒ Ò ˆX 0 (ˆτ) = t Þ ÛÞ Ð Ù Ò Þ Û Òݺ Ç Ø Ø ÞÒ ÔÓ ÞÙ Û ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÙÒ Þ Ù t Ð ÖÒ Óµ Ñ ÓÖÑ ˆX µ (t) = tˆp µ Ĥ 1 + {Ĵµν, ˆp ν }/2m 2 + {Ĵν0, ˆp µˆp ν Ĥ 1 }/2m 2. ½º µ ÇÔ Ö ØÓÖÝ Ŷ µ (τ), ˆXµ (t) Ð Ò ÞÝÛ Ò ÓºÔº Ó Ö Ó ÔÓÛ Ò Ó Ô ÖÛ Þ Ó ÖÙ Ó ÖÓ Þ Ùº Ï ÖØÓ ÔÓ Ö Ð ÈÖÝ Û Þ Þ Ò ÛÝÓ Ö Ò Ø Ó Ô ÖÛ¹ Þ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Þ Ó Ó Ó ÔÖ ÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ˆX µ (t) Ò Ø Ò ÔÓÞ ÓÑ Û ÒØÓÛÝÑ ÓÛ Ö ÒØÒݺ Ì Ò Ó Ø ØÒ Ø Ó Ø Ø ÞÒ ÔÓØÛ Ö Þ ÞÛ Þ ÓÑÙØ Ý Ò º ÈÖÞÝ ÓÛÓ ÓÑÙØ ØÓÖ ÖÓÞÛ Ò Ó ÓºÔº Þ ÞØ ÖÓÔ Ñ Ò Ø Û Ð Ó ÓÛ Ö ÒØÒ Ð Ñ ÑÓ ØÓ Ñ ÓÒ ØÝ ÓÒÙ ÔÓ Ø [ ˆX k, ˆp l ] = iδ kl ; [ ˆX, Ĥ] = iˆp/ĥ. ½º µ  ÑÓ Ò ÓÑÝ Ð Û Ô ÖÞ Ò Ó Ö Ò ÓÑÙØÙ ˆX ˆX = iŝ/m 2 ÐÙ [ ˆX k, ˆX l ] = iŝ kl /m 2, ½º µ Þ ÔÖ Û ØÖÓÒ ÛÝÖ ÓÒ Ø Þ ÔÓÑÓ Ô ÒÙ ÓÖÒ ¹ÁÒ Ð º Å ÑÓ Ö Ù ÓÑÙ¹ Ø ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ö ÖÙ Ó ÖÓ Þ Ù Ø Û Ò Ø ÖÝ ÔÓ ÖÞÒ ÔÖÞ Ø Û ÒÝ Ó ÔÓÔÖ ÛÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò º ÇÔ Ö ØÓÖÝ Ó Ö ˆX Ŷ ØÖ Ò Ð Þ Ø ÞÑ ÓÛÝ Þ Ô Ò Ñº ÈÖÝ ØÛ Ö Þ Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ò ØÒ Ö ÛÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ˆQ Ó ÓÑÙØÙ Ý Ó¹ ÛÝ º ÛÓ Ø Ø Ò Ø ÛÒ ÛÞÓÖÝ Ò Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Ö ÛÒÓ Û ÔÖÞÝÔ Ù ÖÑ ÓÒ Û ÓÞÓÒ Û ÓÖÑ ÐÒ Ñ Ò Ò Û Ø Ð m = 0 Ô ØÖÞ ÒÔº ÛÞ Ö ½º µµº ÈÓÞÓÖÒ ÔÖÞ ÞÒÓ Ø Û Û ØÝÑ Ø Ò ÔÖ Û ÔÖÞÝÔ Þ Ø ÞÑ ÓÛÝ ØÓ ÒÒ Ø ÓÖ Þ ÒÒ Ð Þ ØÓÔÒ ÛÓ Ó Ýµ ÛÝÑ Ó Ó Ò Ó ÖÓÞÔ ØÖÞ Ò º ÈÖÝ ÖÓÞÔ ØÖÞÝ Ó Ó ÒÓ ÔÖÞÝÔ ÓØÓÒÙ ÔÓ Ð Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ØÝÔÙ ÓÖÒ ¹ ÁÒ Ð ˆq = x iˆp ˆp ˆτ +, ½º µ 2ˆp 2 ˆp 2 Þ ˆτ i ØÓ Ô ÛÒ Ñ ÖÞ Ô ÒÙ ˆp = º ÈÖÝ Ò ÔÓ Ó Ó Ò Ò Ð ÞÝ ÔÖÞݹ Ô Ù ÞÑ ÓÛÝ ÖÑ ÓÒ Ûº Â Ð Ò ÔÓ Ø Û ÑÝ m = 0 Ó ÛÞÓÖÙ Ò ÓºÔº ÖÑ ÓÒÙ ÔÓ Ò Ó ÔÖÞ Þ ÈÖÝ ³ ØÓ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ ˆq = x + ˆp Ŝ ˆp 2, ½º µ Þ Ŝ = ˆα ˆα/4i Ø ÞÛÝ ÝÑ Ñ ÖÞÓÛÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ô ÒÙº Ï Ð Þ Þ Ø ÔÖ Ý Ó ÞÝ ÔÓÛÝ ÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÙÞÝ ÒÝ Û ÙÔÖÓ ÞÞÓÒÝ ÔÓ Ø ÛÝÐ ÞÓÒÝ ÔÖ Û ÓÛÓº ÁÒÒÝÑ ØÓØÒÝÑ Ð Ñ ÒØ Ñ ÔÖ Ý ÈÖÝ ³ Þ ½ Öº Ý Ó Þ ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ ÒÝ Ò Ð Ð ØÖÓÒÙ ÓÖ Þ Ý Ù ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÒ Ø ÖÒ ÔÓÐ Ö ÔÓ Ø Ö ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ ˆQ Þ ÓÒ ÐÒݺ Â Ò Û Þ ÔÓ ÙÑÓÛÙ ÔÖ ÈÖÝ ÓÔÓÛ Þ ÓÛ Ö ÒØÒÝÑ ÑÒ Ñ µ ÓºÔº ˆX(t) Ó Þ ØÝÑ Þ ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ Ò ÓÞÒ ÞÓ¹ ÒÓ ÔÓ Ó Ò Þ Ø Þ Ô Ò Ñ ÖÞ Ù ÓÑÔØÓÒÓÛ Ù Ó Ð º ÇÞÒ Þ ØÓ Ò Ó Ò ÓÒ Ó Ø Ø ÞÒ Û ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ Ó ÔÖÞ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ˆQº ½¼

25 ½º Ç Ò Æ ÛØÓÒ Ï Ò Ö ÓÖ Þ ÓРݳ Ó ÏÓÙØ ÙÝ Ò Ï ½ ÖÓ Ù ÔÖ Ò Ø Ñ Ø ÐÓ Ð Þ Ù Û Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÓÔÙ Ð ÓÛ Ð Ìº º Æ Û¹ ØÓÒ ºÈº Ï Ò Ö ¾½ º ÙØÓÖÞÝ ÛÝ Ó Þ Þ ÖÓÞÛ Ò ØÙÖÝ Ø ÓÖ Ó¹ ÖÙÔÓÛ Ó ÞÐ Ó Ò ØÔÙ ÔÓ Ø ÓºÔº Û ÔÖÞ Ø Û Ò Ù Ô ÓÛÝÑ Ð Þ Ø Þ Ô ÒÓÛ ( ) ˆQ k = i + pk, ½º µ p k 2E 2 Þ p k = p k E = + m 2 + p 2 Ý Ý ÖÓÞÛ Ò ÝÒ Ó ØÒ ÔÓÛ Ó Ñ Ýº Ì ÔÓ Ø ÓºÔº ÑÓ Ò Ö ÛÒ ØÛÓ ÙÞÝ Ó Ð Þ ÖÑ ØÓÛ Þ ÞÛÝ Ó ÓºÔº i / p k Ð ÓÖÞÝ Ø Þ Ò ÞÑ ÒÒ Þ Ñ ÖÝ Ó ØÓ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ô ÓÛ º ÈÓÒ ØÓ ÞÔÓ Ö Ò Ñ Ö ÙÒ Ñ ÑÓ Ò ÔÖ Û Þ Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ØÓ ÑÝ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖÓÛ ÈÖÝ ³ ½¾ Ó ÞÖ ÞØ ÞÓ Ø Ó Þ ÞÒ ÞÓÒ Û ÓÑ Û Ò ÔÖ Ýº Æ ÛØÓÒ Ï ¹ Ò Ö ÔÓ Ð Ö ÛÒ Ù ÐÒÝ ÛÞ Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ð Þ Ø Ó ÓÛÓÐÒÝÑ Ô Ò ÔÓ Û ÓÛÝÑ s [ 2s ] ˆQ k = ˆΠ E (1 + ˆγ a 0 2s+1/2 ( ) (E + m) s a=1 i p k ) E 1/2 (E + m) s ˆΠ, ½º µ Þ {ˆγ a µ } ØÓ 8s ÙÓ ÐÒ ÓÒÝ Ñ ÖÞÝ Ö Ò ØÓÑ Ø ˆΠ ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÞÙØÙ Ò ÔÖÞ ØÖÞ ÖÓÞÛ Þ ÙÓ ÐÒ ÓÒ Ó Ö ÛÒ Ò Ö ½ 2s ˆΠ = (ˆγ a µ p µ + m)ˆγ a 0 /2E. a=1 ½º ¼µ Ç Þ Ó ÒÔº Ð s = 1/2 ÛÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÓºÔº Ø ÞÒÓÛÙ Ö ÛÒÓÛ ÒÝ Û Ù ÙØÓÖ Ûµ ÓÔ Ö ØÓÖÓÛ ÈÖÝ ³ Ð Ó Ö Ò ÞÝ Ó Ø Ò Û Ó Ó ØÒ Ò Ö º Æ ÛØÓÒ Ï Ò Ö Ò ÔÓØ Ð Ò ÔÓÖ ØÖÙ ÒÓ ÔÖÞÝ ÔÖ ÔÓ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó ¹ Ò ÓØÓÒÙº ÈÓÒ ØÓ ØÛ Ö Þ Ð ÓÒ Ð Þ Ø Ø ÞÐÓ Ð ÞÓÛ Ò Û ÔÙÒ Þ ÓÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝÑ Û ÒÝÑ Ù Þ ØÓ Ò Þ ÓÒ ÞÐÓ Ð ÞÓÛ Ò Û ÒÒÝÑ Ù Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ º ÈÖ Æ ÛØÓÒ Ï Ò Ö Ý ÔÓ Ø Û Ð Û ÐÙ Ô õò ÞÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞ¹ ÒÝ ÔÖ Ó ÓÔ Ö ØÓÖÞ ÔÓ Ó Ò º Û Ò ÞÝ Ò Ð Ý ÛÝÑ Ò ØÙ Ó Þ ÖÒÝ ÖØÙ¹ Ù ºËº Ï ØÑ Ò Ç ÐÓ Ð Þ Ù Û Û ÒØÓÛÓÑ Ò ÞÒÝ ¾ Þ ½ ¾ ÖÓ Ùº Ê ÛÒ Û Ð Ø Þ Þ ØÝ Ò Û ÞÝÛ Ð Ó Ø ÔÖ Ý ºÏº Å Ý ¾¼ ÓÖ Þ ÅºÂº ÄÙÒÒ ½ º È ÛÒ Ø ÓÖ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Þ Ø ÞÑ ÓÛÝ ÔÓ Ð º Ò ¹ ÐÓÔÓÙÐÓ º Ý Ò Åº Ð ØÓ ½ Û ½ ÖÓ Ùº ÈÓ Ø Û ØÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝ ÔÖ Ý Ó ØÛ Ö Þ Ò Ó Ò ÞÛ ÑÔÖ Ñ Ø Ú ØÝ Ø ÓÖ Ñ Ø Ö Ó Ò Ó ÐÒ Þ Û Ö ÞÓ Ø Ù ÓÛÓ Ò ÓÒ ÔÖÞ Þ Å Ý³ º ÌÛ Ö Þ Ò ØÓ ÓØÝÞÝ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ ÖÙÔ Û ÔÖÞ ¹ ØÖÞ Ò À Ð ÖØ ÒÔº Ö ÔÖ Þ ÒØ Ù Ð ÓÛ ÔÓ ÖÙÔÝ ÖÙÔÝ ÈÓ Ò Ö Óº Ï ÞÞ Û Ò Ø Ñ Ø Ø Ó ØÛ Ö Þ Ò ÞÝÞÒÝ Þ ØÓ ÓÛ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Û ÔÓ ÖÞ¹ Ò Ù Ñ Çº ÖÙØ ÊÝ Þ Ö Ê Þ Ó Ø ÓÖ ÖÙÔ ½ Öºµº Ö Þ ÒØÙ Ý Ò ÞÝÞÒ ÔÓ ÔÖÞ Ø Û Ð Ä Ð Äº ÓÐ Ý Ë Ö º ÏÓ¹ ÙØ ÙÝ Ò ½¾ Û ½ ¼ ÖÓ Ùº Á ÔÖ Ý ÞÔÓ Ö Ò ÓÒØÝÒÙ ÖÓÞÛ Ò ÔÖÞ Þ ½¾ ÇÔ Ö ØÓÖ ÈÖÝ ³ Ð Þ Ø Þ Ô ÒÓÛ Ø Ö ÛÒÓÛ ÒÝ ÓºÔº ÓÖÒ ¹ÁÒ Ð º ½ ÅÓÛ Ó Ö ÛÒ Ò Ù Ö Ñ ÒÒ ¹Ï Ò Ö ˆγ µ a ˆp µψ = mψº ½½

26 ÈÖÝ ³ ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÒ Ø ÖÒ Ø Ö ÓÒ Ð ÞÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ˆQº Ï Ó Ø Ù Æ ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ ÓРݳ Ó¹ÏÓÙØ ÙÝ Ò ÞÓ Ø Þ Ò ÓÛ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ô ÐÒ Ó Ô Ò ¹ ÐÓÖ ÒØÞÓÛ Óº Ò Ñ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ô ÖÓÛ Ò Ó ÖÓÞÛ Þ Ö ÛÒ Ò Ö Ó Ó ØÒ Ù ÑÒÝ Ò Ö º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø Ñ ÔÓ Ø ψ FW = ÛFWψ, Þ Û FW = Ê + ˆβĤD 2Ê(m + Ê), ½º ½µ ÔÖÞÝ ÞÝÑ ψ FW Ø ÔÖÞ ØÖ Ò ÓÖÑÓÛ ÒÝÑ ÔÓÐ Ñ Ö Ê = + m 2 ˆβ Ø Ò Þ Ñ ÖÞÝ Ö º Ê ÛÒ Ò Ö ÔÓ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÔÖÞÝ ÑÙ Ö Þ Þ Ð ÓÒ ÓÖÑ Ó Ö ÛÒ Ò Ë Ö Ò Ö Ò ÙÒ ÐÓÛ i t ψ FW = ˆβ m 2 ψ FW. ½º ¾µ ÙØÓÖÞÝ Þ ÙÛ ÝÐ Û ÒÓÛ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÔ Ö ØÓÖ ÈÖÝ ³ Ø ÞÛÝ ÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÑÒÓ Ò ÔÖÞ Þ x ØÞÒº Û ˆQÛ 1 = x ½º µ Å ÑÓ Ù Ò Þ Þ ØÛÓÖÞÝ Ò Ó ÓÐ Ý ÏÓÙØ ÙÝ Ò Ò ÞÛ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ˆQ Ñ Ó Ó Û Ò Ñ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ö Þ ÖÛÙ Ø ÖÑ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ÖÝ Û Ø Ò Ö ÓÛ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø ÑÒÓ Ò Ñ ÔÖÞ Þ xº Å Ò ÔÓ Ø ÓÒ ÛÝÖ Þ Ð Û Ø Ò Ö¹ ÓÛ Ö ÔÖ Þ ÒØ Û ÓÖÑ ˆQ = x + iˆβ ˆα 2Ê + iê(ˆα ˆα) ˆp 2ˆβ(ˆα ˆp)ˆp 4Ê2 (Ê + m), ½º µ ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ ˆQ Ø ØÙ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Û Ó Ö Þ Ë Ö Ò Ö º Ï ÒØÝÞÒ ÓÖÑ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ð ØÖÓÒÙ ÞÓ Ø ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÈÖÝ ³ Û ÔÖ Ý Þ ½ Öº Á ØÓØÒÝÑ Ö ÙÑ ÒØ Ñ ÓРݳ Ó ÏÓÙØ ÙÝ Ò Ò ÖÞ Þ Ñ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ý ÔÓ Ø ÔÖ Ó º Ï Ù Ø Ö Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÔÖ Ó Ý Ý ˆαº ÈÓÒ Û ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ò Ò Ø Ø ÖÙ Ù ÓÖ Þ Ó Û Ö Ø Ø ÝÒ ½ ØÓ Ò ÑÓ ÓÒ Ý Ò ÓÛÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÔÖ Ó º Æ ØÓÑ Ø ÔÓ Ó Ò Þ ÓÛ Ñ Ò ÔÓ Ø ÓÒ ÛÝÖ Ø Ñ ÑÝÑ Ö ÛÒ Ò Ñ Ó Û Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ñ Ò Ð ÝÞÒ ½ d ˆQ(t) dt = i[ ˆQ, ĤD] = ˆp Ĥ D. ½º µ ÃÛ Ö Ø Ø ÔÖ Ó Ò Ø Û ÞÝ Ó ÝÒ ÞÝÐ ÔÖ Ó Û Ø º ½º ÈÖÞ Ð ÛÝ Ö ÒÝ Û Ô Þ ÒÝ ÔÖ Ó ÐÓ Ð Þ Þ Ø Ç ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò À ÒÖ ÖÝ Ò Ô Ö Ø ÄÓ Ð Þ Ð ØÝ Ò ËÔ Ò ÉÙ ÒØÙÑ È Ý ¾ ÛÝ Ò Û ½ ÖÓ Ùº Ï ØÝÑ ÑÝÑ ÖÓ Ù ÙØÓÖ Ø Ò ÓÔÙ Ð ÓÛ ÔÖ Ì ÔÓ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ú Ø Ò Û ÞÙ Ó Ó º ÖÝ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÐØ ÖÒ ØÝÛÒ ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÓÛ ÔÓ Ó Ò ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ð Ë Ö Ò Ö ½ ÇÞÒ Þ Ó Ý ØÓ Ð ØÖÓÒ ÔÓÖÙ Þ Þ ÔÖ Ó Û Ø º ½ Ì Û ÒÓ Ñ Ö ÛÒ ÓºÔº ˆR ˆqº ½¾

27 ÞÝ ÓÖÒ¹ÁÒ Ð º ÌÓ ÔÓ Þ Ò Ñ ÙØÓÖ ÙÑÓ Ð Û Ò ÓºÔº Ð ÓØÓÒ Û Þ Ø Þ ÖØÒÓ º ÖÝ ÓÒ ÐÙ Ù Ð Ø ÙÒ Û Ö ÐÒÓ Ø ÓºÔº Ø Ö ÙÑ ÒØ Ñ Ò ÔÓÔÖ ÛÒÓ º ÈÓÒ ØÓ ÔÓ Ó Ò ÒÒ Þ Ø Ö ÇÒ ÓÔÖÞ ÛÓ ÔÖÓÔÓÞÝ Ò Ò Ö ØÓÖ ÖÙÔÝ ÈÓ Ò Ö Óº Ð ÞÑ ÓÛÝ ÖÑ ÓÒ Û ÖÝ ÔÓ Ò ØÔÙ Ý ÓºÔº ˆR ± = x + iˆp 2ˆp 2 iˆσ 2ˆp, ½º µ Þ σ i ØÓ Ñ ÖÞ È ÙÐ Óº  РÙÛÞ Ð Ò ÑÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÞÒ Ù Û ÔÓ Ø ˆσ ˆp/ˆp ØÓ ÑÓ Ò ÔÓ Þ ÔÓÛÝ ÞÝ ÓºÔº Ñ Ø Ñ ÔÓ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ½º µ ÛÝÒ ¹ Ý Þ ÔÖ Ý ÈÖÝ ³ ½ º Ð ÓØÓÒÙ ÖÝ ÔÖÓÔÓÒÙ ÔÖÞÝ ØÖ ÒÛ Ö ÐÒÝ ÓºÔº ØÞÒº Ø Ø ÖÝ Ò Ò ÖÙ Þ Û ÖÙÒ Ù ÞõÖ ÓÛÓ Û ØÓÖÓÛ Ù ÐÓÛ º Ì ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÓØÓÒÙ ÔÖÞÝ Ö ÓÖÑ ˆR = x + ˆp Ŝ ˆp 2, ½º µ Þ (S i ) jk = iε ijk ØÓ Ñ ÖÞ Ô ÒÙº Å ÑÓ ÔÓ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ØÖ Ò Û Ö ÐÒÝ ØÓ Ò Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ô ÖÞÝ ØÝÑ Ý Ö Ù Û Ò Ñ Þ ÓÒÙ iˆp/2ˆp 2 Ô ØÖÞ ÛÞ Ö ½º µµº Ö Ø Ó Þ ÓÒÙ Ý Ý ÙÞ Ò ÓÒÝ Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ÙÒ ÐÓÛ ÓØÓÒÙ Ò ÔÖÞ Þ ½º µ Ð ÖÝ ÔÖ ÓÛ Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ½º µº ÈÓ ÓÒ ÓÑ Û Ò ÔÖ Ý ÙØÓÖ ÔÓ Ð ÙÒ Û ÒÝ Þ ØÓÛ ÓÛ ÓºÔº ÓØÓÒÙº Ç ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ò Ô ÒÓ Û ÔÖ Þ Ø ÖÝ Ò ÒÓÛ Þ ÞÓ Ø Ý ÓÔÙ¹ Ð ÓÛ Ò Ù Û Á Û Ùº Æ Ø Ö Þ ÒÓÛ ÞÝ ÔÖ ÓØÝÞ ÓØÝ Þ Ò Ó Ø Ø ÞÒ Þ Ò Ó Ô ØÙ ÐÓ Ð Þ Þ Ø ÞÑ ÓÛÝ º ÈÖÞÝ Ñ ÑÓ Ý ØÙØ ÔÖ ÁÛÓ ÝÒ Ó¹ ÖÙÐ º È ÖÛ Þ Þ Ò Ý ÓÔÙ Ð ÓÛ Ò Û ½ ÖÓ Ù Ó¹ ØÝÞÝ ÙÒ ÐÓÛ ÓØÓÒÙ Û ÞÞ ÐÒÓ Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ º Â Û ÓÑÓ ÙÒ Ø Û Þ ÔÓ Ó Ò ÓÛ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Þ Ø Ñ Þ ÓÔ Ö ØÓ¹ Ö Ñ ÔÓ Ó Ò º ËÞ ÖÞ Ø Ó ØÝÔÙ Ô ØÝ ÞÛ Þ Ò Þ ÓºÔº ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Û Ò ØÔ¹ ÒÝÑ ÖÓÞ Þ Ð º Æ ØÓÑ Ø ÔÖ Þ ½ ÖÓ Ù ÓØÝÞÝ ÛÝ Ò Þ ÐÓ Ð Þ ÓØÓÒ Ûº Ï ÔÖ Ý Ø ÖÓÞÛ ÓÒ Ø ÒÝ ÓØÓÒÓÛ ÓÔ Ò Þ ÔÓÐÓÒÝÑ Û ØÓÖ Ñ À ÖØÞ Ø ¹ Ö Ó Þ Ð ÒÓ Ó ØÞÛº Û ØÐÒÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ t ± x Ð ÞÓÒÝ ÛÞ Ð Ñ Ö Ò Ó ÔÓ Ó Ò ÓØÓÒÙ Ñ Ö Ø Ö ÛÝ Ò Þݺ ÇÑ Û Ò ÔÖ ÔÓ Ó Ò ÔÓÔÖÞ ¹ Ò Þ ÓÛÓ Ó ÒÓ Ó ÞÒ ÞÒ Ø Ö Þ ÔÖ Ý Äº º Ä Ò Ù³ º È ÖÐ ½ Þ ½ ¼ ÖÓ Ù Û Ø Ö ÙØÓÖÞÝ ÔÖÓÔÓÒÙ Ò ÐÓ ÐÒ ÙÒ ÐÓÛ ÓØÓÒÙº Ý ÔÖÞ ¹ Ø Û Ò Ø ÙÒ ÛÝ Ó Ò Ø ÛÔÖÓÛ Þ Þ ÔÓÐÓÒ Ò Ø Ò Ê Ñ ÒÒ ¹ ¹Ë Ð Ö Ø Ò ÔÓÐ Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ Ó F = 1 2 (E + ib), ½º µ Þ E ØÓ Û ØÓÖ Ò Ø Ò ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ Ó B ØÓ Û ØÓÖ Ò Ù ÔÓÐ Ñ Ò ¹ ØÝÞÒ Óº Ö Þ ÞÔÓ Ö Ò Ó ÔÓØÖÞ Ò Ø Ò ØÔÙ ÞÑÓ Ý ÓÛ Ò ÔÓ Ø Ø Ó Þ ÔÓÐÓÒ Ó ÔÓÐ F(x) = 1 ] [E(x) + ib(x) = π 2 d 3 x (2π x x ) 5/2 F(x ). ½ ÈÖÞÝ ÞÝÑ ÙØÓ Ñ ÑÝ Ñ ÖÞ Ô ÒÙ Ø Ö Û Ò Ø ÓÖ Ñ ÖÓÞÑ Ö Ü Û ÖÙ ¾Ü¾º ½º µ ½

28 Ï ÖÙ Þ Ø ÔÖ Ý Ñ Ø Ö Û Ð Ó ÔÓÛÝ Þ Ó ØÝÔÙ Ò ÞÝÛ Ò Ó Ø Ñ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒÝÑ ½ º Ï Ø ÓÖ Û ÒØÓÛ ÔÓÐÙ F Ó ÔÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ˆF ÙÒ ÐÓÛ Ä Ò Ù³ ¹È ÖÐ Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ñ ÖÞÓÛÝÑ Ø Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓÐ ÞÓÒÝÑ Ò Ø Ò ÔÖ Ò Þ ÒÝÑ Ø Ò ÒÓ ÓØÓÒÓÛÝѺ Ï ¾¼¼½ ÖÓ Ù ÞÞ ÓÛ ÔÖ ½ Ò Ø Ñ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÓØÓÒÙ ÓÔÙ Ð ÓÛ Ð Å Ö Ö Ø À ÛØÓÒ Ï Ð Ñ º ÝÐ º ÈÙÒ Ø Ñ ÛÝ Û Ø ÔÖ Ý Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÈÖÝ ³ Þ Ô ÒÝ Û ÔÓ Ø ˆ ˆp ˆQ = ˆq + Ê(m + Ê), ½º ¼µ Þ ˆq ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÓ Ò Ö ÓÖÒ ¹ÁÒ Ð ˆ ØÓ ÔÓÞÝÒ ÓÛÝ Ô Ò ÈÖÝ ³ º Ï ÓÔ Ö ØÓÖ ÈÖÝ ³ Û Ø ÔÓ Ø Ý Ý Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒÝ Ð m = 0 Ý Ý Ó ÖÞ Ó Ö ÐÓÒÝ Ý Ô Ò ˆ º ÏÓ Ø Ó Þ Ñ Ø Ô ÒÙ ˆ Ø ÖÝ Ð ÓØÓÒ Û Ò Ñ Ò Ùµ Û ÖØÓ Ù Ý Ñ ÖÞÓÛ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ô ÒÙ Ð Þ Ø Ó Ô Ò ½ ÞÒ Ò Ó Þ Ñ Ò Û ÒØÓÛ º Ï Ò Û Ø Ò ÔÓ ÔÓ Ø Ô Ð À ÛØÓÒ ÝÐ º Ç Þ Ó Ò ÓÛ Ø ÓØÖÞÝÑ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÓÑÙØÙ º Å ÑÓ ØÓ ÙØÓÖÞÝ ÔÓ ÞÐ Ð ÑÓ Ý Ù Ò Ó Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÓØÖÞÝÑÙ Ò Ó Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÔÓ ÒÝ ÞÛ Þ ÓÑÙØ Ý ÒÝ Ø ÑÝ Ð ÛÞ Ò ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÈÖÝ ³ ˆQº ÈÙ Ð ½ Ò Þ Û Ö Ò Ò Ó Ó Ø Ø ÞÒ ÛÒ Ó ÛÞÓÖÙ ÛÝÖ Ó ÔÖÓÔÓÒÓÛ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÞÒ ÞÒ ÙØÖÙ Ò Û ÖÝ ÒÓÞÒ ÞÒÓ Ò Þ Ð ÒÓ Ó ÓÛ Ò Ø Ó ÓÔ Ö ØÓÖ º Å ÑÓ ØÝ Û ÞÝ Ø Þ Ø ÓÛÝ Ù Û Ó Þ Ò Þ Ò Ö Þ ÔÓ Ø ÛÓ¹ ÛÝ Û Ð Ó ÞÝÞÒÝ ÔÓ Ó Ò µ Ò ÔÓ ÔÓÛ Þ Ò ÔÖÞÝ Ø Ó Ó Ø Ø ÞÒ Ò ÓÑÔÐ ÓÛ Ò Ó ÓÔ Ù Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ó Û Ö Ñ Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ñ Ò Û Ò¹ ØÓÛ Ò Û Ø Ð Ø ÓÖ Þ Ó Þ ÝÛ Ò º ½º ÈÓ ÙÑÓÛ Ò Ï ÔÓÛÝ Þ Ò Ð Þ ØÓÖÝÞÒ ÖÓÞÔ ØÖÞÓÒÓ Ô ÔÖÓÔÓÞÝ ÖÑ ØÓÛ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Û ÔÓ Ó Ò ˆR, ˆq(t), ˆQ(t), ˆX(t), Ŷ µ (τ) ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ ÈÖÝ ³ ˆQ(t) ÛÔÖÓ¹ Û Þ ÒÝ Ý Ò Ó Ò ÑÒ ØÖÞÝ ÔÓ Ó Ýº À ØÓÖÝÞÒ Ô ÖÛ ÞÝÑ Þ ÛÝÑ Ò ÓÒÝ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Û Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ë Ö Ò Ö ˆR Ø ÖÝ Ó Þ Ö ÛÒÓÛ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖÓÛ ˆqº À Ò Ö ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖÒ ¹ÁÒ Ð ˆq(t) Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÖÓ Ò Ö Û Ó¹ ÓÛÒÝÑ Ø Ó ÓÛ ÞÒ Þ Ò Ùº Â Ó ØÙØ Ñ Ø Ó Ö Ó Ö ÐÓÒÓ Ð Þ Ø ÞÑ ¹ ÓÛÝ º ÓÐ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ó Ö Ŷ µ (τ) ˆX(t) ÓÔ Ù ÖÓ Ò Ö Û Ù Þ ÔÓÞÝÒ ÓÛÝѺ Ì Ò Ô ÖÛ ÞÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ÓÛ Ö ÒØÒÝ Ù Ý Ó ÛÝÖ Ò Û Þ Ö Ò ÓÖÑ ÓÛ Ö ÒØÒ Ó Ø Ò ÓÖ ÓÖ Ø ÐÒ Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ùº Â Ò Ó Û ÒØÓÛÓÑ Ò ¹ ÞÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Þ Ý ÓÛ Ò Ò Ô ÖÛ ÞÝ ÔÐ Ò ÛÝ ÙÛ Ö ÛÒÓÛ Ò Þ ¹ Ò ÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÈÖÝ ³ Æ ÛØÓÒ Ï Ò Ö ÓÖ Þ ÓРݳ Ó ÏÓÙØ ÙÝ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ˆQ(t)º Â Ó Ò Û Ò Þ Û ÒÓ Ø ÔÖÞ Ñ ÒÒÓ ÓÛÝ º Æ Ø ØÝ Þ Ó Ò Þ ÈÖÝ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ø Û ÒÓ Ò ØÒ Ð Þ Ø ÞÑ ÓÛÝ Þ Ô ¹ Ò Ñº Æ ÑÒ Ò À ÛØÓÒ ÝÐ ÔÓÐ Ñ ÞÙ Þ Ø ÓÔ Ò Ò ÔÖÞÝ Þ ÓØÓÒÙº Ï ÖØÓ ÔÓ Ö Ð Û ÞÓ ÖÓÞÛ ÒÝ ÓºÔº Ý Þ Ò ÓÛ Ò ØÝÐ Ó Þ ÔÓÑÓ Ð ÖØÓÛ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò Ö ØÓÖ Û ÖÙÔÝ ÈÓ Ò Ö Ó ØÞÒº ˆp µ Ĵµν º ½ Ð Ò Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝ Ó ØÝ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ Ñ Þ Û Þ Û ÔÖÞÝ ØÝ ¹ ÒÓ Ø µ ÛÝÑ Ö m 3/2 º ½

29 Ò Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ò ÞÓ Ø Ó Û Ô Ò ÛÝÞ ÖÔ Ò º ÈÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ Ö Ù Ù ÒÓÐ Ò ÙÔÖÓ ÞÞ Ò ÓÔ Ù Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Óº ÈÓÒ ØÓ Ò Ð Ó Ý Ó Ö Ð Ð ØÒ µ Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒÝ ÔÖ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÔÓ¹ Ó Ò Ð Ö ÒÝ Þ Ø Þ Ó Û ÒÓ º Ê ÛÒ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ô ÒÙ ÛÝ Ó¹ ÖÞÝ ØÝÛ Ò Û Ò ÓÛ Ò Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÔÓ Ó Ò ÔÓ Û Ý ÒÔº Ò ÓÛ Ö ØÒÓ º ÊÓÞÛ Ò Ó ØÝ Ô ÒÓÛ Ñ Þ ÝØ Ð ÝÞÒÝ ÖÓ ÓÛ Ó ÛÓ Ù Ý Ó Ð ÝÞÒ ÖÓÞÙÑ Ò Ó Û Ò Ó ÑÓÑ ÒØÙ Ô Ùº Æ Ò Ñ ÓÔ Ö ØÓÖÓÛÝ Ò Û Ð ØÙØ ÞÑ Ò º ÈÖ Û ÓÛ Û ÒØÓÛÓÔÓÐÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ô ÒÙ ÑÓ Ò ÙÞÝ ÒÔº Ò ÔÓ Ø Û ØÛ Ö Þ Ò ÆÓ Ø Ö ÛÝÒ Ò ÓÒ ÞÒ Þ ÔÓ ÖÝÛ Þ ÖÓÞÛ ÒÝÑ ØÙØ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ º ÈÓÞ ØÝÑ Ò ÞÓ Ø Ó Û Ô Ò ÔÖÞ ÖÞÝ ÖÓÞÔ ØÖÞÓÒ Þ Ò Ò ÒÓÞ Ø ÓÛÓ ÓºÔº Û ÝÑ ÞÒ Þ Ò Ù Ø Ó ÓÛ ØÞÒº Þ ÖÓÞÖ Ò Ò Ñ Þ Ø ÒØÝÞ Ø º Ó Ò Þ ØÝÑ Ð Þ Ø Ò ÓÛ ÒÝ ÔÓÛ ÒÒÝ ØÒ Û ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÔÓ Ó Ò ÒÔº Ð Ð ØÖÓ¹ Ò Û p 0 > 0µ ÔÓÞÝØÓÒ Û p 0 < 0µº ÈÓÞ ØÝÑ Ò Ð Ó Ý Ø ÓÖ ÓÔ ÓÒ Û ÒØÒ Û ÞÝ Ù ÒÓÞ Ø ÓÛÝ Ø Ò Û Û ÒØÓÛ ÒÝ Ô Ðº Ê ÛÒ Ó Ó Ò Ø Ò Þ Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Þ Ø ÞÑ ÓÛÝ Þ Ô Ò Ñº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÓØÓÒÙ ÈÖÝ ÖÝ ÓÖ Þ À ÛØÓÒ Ð ÔÓ Ð Ò Ö ÛÒÓ¹ Û Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÔÓ Ó Ò º ÏÓ Ø Ó ÔÓ Û ÔÝØ Ò Ð Þ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ò Ø Þ Ò ÓÛ ÒÝ ÙÒ Û Ö ÐÒ Þ ÛÝÖ Ò Ò ÔÖÞÝÔ Ù Þ Þ ÖÓÛ Ñ º Æ Ð Ý ÔÓ Ö Ð Ò Ò Þ Þ ÔÖ Ý ÓØÝÞÝ ÝÒ Ø ÓÖ Þ Ó Þ Ý¹ Û Ò º ½

30 ½

31 Þ ÁÁ ÇÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÙÒ ÐÓÛ Ó ÓÛ Ø Ò Û Û ÒØÓÛÝ Ô Ð ÛÓ Ó ÒÝ ½

32

33 ÊÓÞ Þ ¾ ÃÖ Ø ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ï Ò Ò Þ Þ ÔÖ Ý ÞÓ Ø Ò ÔÓ Ò ÓÒ ØÖÙ ÙÒ ÐÓÛ Û Ò ØÙÖ ÐÒ ½ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ Û Ö Ñ ÓÖÑ Ð ÞÑÙ ÖÙ Û ÒØÝÞ º Ï Ò Ø ÙÒ ÐÓÛ Ø ØÓ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ Û Ø Ò Û ÒÓÞ Ø Ó¹ ÛÝ ÛÝÖ Û ÒØÝÞÒÝ ÔÓ Û Ø ÓÖ Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ º Â Ð Ψ 1 (x) Ψ 2 (x) ÙÒ Ñ ÐÓÛÝÑ Ô ÛÒÝ Û ÒÓÞ Ø ÓÛÝ Ø Ò Û ØÓ ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ ØÝ Û Ø Ò Û ÑÓ Ý Þ Ô ÒÝ Û ÔÓ Ø Ψ 1 Ψ 2 = d 3 x Ψ 1(x)Ψ 2 (x). ¾º½µ ÖÙ Ñ Û ÖÙÒ Ñ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ˆQ Ø Ò Ý Ð Ñ ÒØÝ Ñ ÖÞÓÛ Ø Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÛÝÖ Ý Ò ØÔÙ Ó Ψ 1 ˆQ Ψ 2 = d 3 x Ψ 1 (x) xψ 2(x). ¾º¾µ ÈÓÛÝ Þ ÓÖÑ Ð Ñ ÒØÙ Ñ ÖÞÓÛ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Þ Ö Ù Ý Ó Ö Ð Ó ÔÓ Ø Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ Û Ø Ö ÔÓÛ Ò Ò Ý ÓÒ ÓÔ Ö ÑÒÓ Ò ÔÖÞ Þ x ¾ { ˆQ} Ψ Ψ(x) = xψ(x), ¾º µ Þ Ò Û Ð ÑÖÓÛÝ Þ Ò Ñ ÓÐÒÝÑ Ó Ö Ð ÓÒ Ö ØÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Þ Û ÖØ Ó Û Ò Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ º ÏÔÖÓÛ ÞÓÒ ØÖÞÝ Û ÖÙÒ ÞÞ Þ ÝØ Ó ÐÒ ÔÓÒ Û ÓØÝÞ ÓÒ ÓÛÓÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Û ØÓÖÓÛ Ó Ó Û Ñ ÝÑ ÓÑÙØÙ Ý ÓÛÝ º Ï ÐÙ Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖÓÛ ˆQ ÔÓ Ò Ó Ö Ø ÖÙ Ò Ð Ý Ó ÓÒ ÙØÓ Ñ Ò ÞÑ ÒÒÝ x i ÛÝ ØÔÙ Ý Û ÛÞÓÖ ¾º½µ¹ ¾º µ Þ Û Ô ÖÞ ÒÝÑ ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÝÑ º ÍØÓ Ñ ¹ Ò ØÓ Þ ÓÞÝÛ Ø Ð Ò ÙÒ ÐÓÛ Ψ(x) Ó ÒÓ Þ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓÐ ˆφ(x)º Ï Þ Ø Ñ Þ Ò Ò ÞÒ Ð Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÞÓ Ø Ó ÔÖÓÛ ÞÓÒ Ó ÓÒ ØÖÙ ÙÒ ÐÓÛ Û Ô ÐÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ Ò ÞÝÛ Ò Û Ø ÔÖ Ý Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ º ÌÓ ÖÙ Þ Ò Þ Ð ÖÓÞÛ Þ Ò Û ÓÔ Ö Ù Ó ÔÓ Ó Ò ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ò Ð â x Ö â x Þ Ø Û ÔÙÒ x Ó ÙÒÓÖÑÓÛ ÒÝÑ ÓÑÙØ ØÓÖÞ [â x, â x ] = δ (3) (x x ). ¾º µ ½ ÌÞÒº ÓÖ ÔÓÒ Ù ÛÖ Þ Þ ÔÖ Û Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ý ÒÝÑ Þ Ò ÐÓ ÞÒ ÙÒ ÐÓÛ Û Ø ÓÖ Ò ¹ Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ º ¾ Ò Ò ØÓ ÓÑÔÐ Ù Û ÔÖÞÝÔ Ù Ý Ò ÙÒ ÐÓÛ Ò ÖÞÙÓÒ Ô ÛÒ Û Þݺ ½

34 Ò ÓÔ Ö ØÓÖ â x ÑÙ ÓÔ Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖÞ ÔÓÐ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Þ Ø Þ Ò Þ ÖÓÛÝÑ Ô Ò Ñ Ò Ð Ý ÙÛÞ Ð Ò Ô ÒÓÛ ØÓÔÒ ÛÓ¹ Ó Ý Û Ø Ò ÔÓ Ý Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ò Ð Ö Ô Ò Ý ÞÛ Þ {â x,σ, â x,σ } s = δ σσ δ (3) (x x ), ¾º µ Þ {, } s Ø ÓÑÙØ ØÓÖ Ñ Ð ÓÞÓÒ Û ÒØÝ ÓÑÙØÓÖ Ñ Ð ÖÑ ÓÒ Û Þ σ σ Ò Ù Ô ÒÓÛ ØÓÔÒ ÛÓ Ó Ýº Ç ÞÙ ÞÛ Þ ØÝÔÙ ¾º µ ÐÒ ÞÝÑ Û ÖÙÒ Ñ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ Ò Û ÖÙÒ ÔÓ Ø Ψ 1 Ψ 2 = d 3 x Ψ 1 (x, σ)ψ 2(x, σ), Ψ 1 ˆQ Ψ 2 = d 3 x Ψ 1 (x, σ)xψ 2(x, σ), σ σ ¾º µ Þ Ψ 1,2 (x, σ) Ð Ù ÓÑÔÓÒ ÒØÓÛÝÑ ÙÒ Ñ ÐÓÛÝÑ Ø Ò Û Ψ 1,2 Ó Ð Þ ÓÑÔÓÒ ÒØ Û Ö ÛÒÝÑ Ð Þ Ô ÒÓÛÝ ØÓÔÒ ÛÓ Ó Ýº ÈÖÞÝØÓÞÓÒ ØÙØ ÛÞÓÖÝ ÒØÝÞÒ Û Ø ÓÖ Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ð Ö Ð ØÝÛ ¹ ØÝÞÒÝ Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ø Û Ñ ÞÝ ÒÒÝÑ Û Ò ØÖÝÛ ÐÒÝ ÔÖ Û ØÖ Ò ÓÖÑ Ý ÒÝ ÖÓÞÛ ÒÝ Ó Ø Û ÓÖ Þ Û ØÖÙ ØÙÖÞ Ñ ÐØÓÒ ÒÙº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Þ Ø Ó Ò Þ ÖÓÛÝÑ Ô Ò Ò Ò Þ Ð ÒÓ ÓÒ ØÖÙ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò Ó ÛÝ ÓÖÙ ÞÝ Ô ÒÓÛ ÛÝÑ Ó Ö Ò Þ Ò Ó Ô ÐÒ Ð Ý Ø Þº Ó Ø Ò Þ Ø Ñ ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ ØÞÛº Ý Ð ÞÒ ÞÝ ÔÓÞÝÒ ÓÛ Þ Ò ÓÛ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ô Ò ÄÓÖ ÒØÞ ØÞÛº Ý Ð ÞÒÝ Ð Ñ ÒØ Û ÞÝ Û ÛÝÖ Ò ÓÒÝÑ Ù Þ Ò Ö ÐÒÝѺ ËÞÞ Ý ÓÒ ØÖÙ ÔÓ Ó Ò ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö Ò Ð ÓÖ Þ ÙÒ ÐÓ¹ Û ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÞÓ Ø Ò Ó Ò ÓÑ Û ÓÒ Ò ÔÖÞÝ Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó ÔÓÐ Ð ÖÒ Ó ÓÔ Ù Ó Ò ÙØÖ ÐÒ Þ Ø Þ Ô ÒÓÛ º Æ ØÔÒ ÞÓ Ø Ò ÛÝ ÓÒ Ò ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Þ Ý Ð ÞÒÝ Ò ÐÓ ÞÒ ÔÓ ØÔÓÛ Ò Ð Þ Ø Ò ÓÛ ÒÝ ÓÖ Þ Þ Ø Ó Ô Ò ½»¾ Ð ØÖÓÒÝ ÔÓÞÝØÓÒݵ ½ Þ Ø ÈÖÓ µº Ç ÛÝÒ ØÝ ÓÒ¹ ØÖÙ ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ØÖ Ò ÓÖÑ Ô Ð ØÝÔÙ ÓРݳ Ó¹ÏÓÙØ ÙÝ Ò ÐÙ ØÞÛº ÔÓÞÝÒ ÓÛÝ Û ÖØÓ Ô Ðº Æ Û ÞÝ ØÖÙ ÒÓ ÔÖÞÝ ÔÓÖÞÝ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ÓØÓÒÙº Ç Ø ¹ Ø ÞÒ ÞÓ Ø Ò ÔÓ Ò ÔÖÓÔÓÞÝ Ø Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÔ ÖØ Ò ÙÓ ÐÒ ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓРݳ Ó¹ÏÓÙØ ÙÝ Ò Ð Ó ÞÛ Þ Ò Þ ÓÛ Ò Ñ ÓÙÐÓÑ º Å ÑÓ Ø Ó ÔÖÓÔÓÒÓ¹ Û ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Þ Ð Ý Ó ÛÓ Ó Ý ÓÛ Ò Ø Ò Û ÛÝ ØÔÙ Û ÔÖÞÝÔ Ù Û ÒØÓÛ Ò ÔÓÐ Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ Ó Ñ ØÓ ÙÔØݹ Ð ÙÐ Ö º ÈÓÒ ØÓ Ó Þ Ó ÞÞ ÐÒ ÙÛ ÛÝÑ Ö ÛÒ Þ Ò Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ¹ Ó Ò ÞÑ ÓÛ Ó ÖÑ ÓÒÙ Ó Ù Ø ÐÓÒ ÖØÒÓ º Ó Ø Ó ÓÒÓ ÓÔ Ò Û Ó Ø ØÒ Ñ ÙÞÙÔ Ò ÝÑ ÖÓÞ Þ Ð º Ï ÓÔÖ ÓÛ Ò Ù Ò Ò Þ Þ ÔÖ Ý ÔÓÑÓÒ Ý Ý ÔÓ ÖÞÒ ½ ½ º ¾¼

35 ÊÓÞ Þ ÊÞ ÞÝÛ Ø ÔÓÐ Ð ÖÒ ¹ Ò ÙØÖ ÐÒ Þ Ø Þ Ô ÒÓÛ º½ ÃÛ ÒØÓÛ Ò ÒÓÒ ÞÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ó ÈÙÒ Ø Ñ ÛÝ Ø ÓÖ ÖÑ ØÓÛ Ó ½ ÔÓÐ Ð ÖÒ Ó φ Ø Ö ÛÒ Ò ÃÐ Ò ¹ ÓÖ Ó¹ Ò ( + m 2 )ˆφ(x) = 0, º½µ Þ m Ø Ñ Û ÒØ Û Ø Ó ÔÓÐ º ÏÝ Ó Ò Ø Ó ÓÒ ÓÙÖ ÖÓÛ Ó ÖÓÞ Ù ÔÓÐ Ò Ð Ô º ÁÒÛ Ö ÒØÒ Û Ö Ø Ó ÖÓÞ Ù ÓÔ Ò Û ÙÛ ÒÓØ Ý ÒÝ Æ Ñ ÔÓ Ø d ˆφ(x) 3 p = [ˆ φ(p)e ip x ˆ φ( p)e ip x ], º¾µ (2π) 3 2p 0 Þ p 0 = + m 2 + p 2 ˆ φ(p) ØÓ ÒÛ Ö ÒØÒ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÙÖ Ö ÔÓÐ º Æ â(p) = ˆ φ(p) Û ÛÞ Ò ÔÓ Ø Û ÖÑ ØÓÛ Ó ÔÓÐ â (p) = ˆ φ( p)º Ç Ø Ø ÞÒ ÖÓÞ ÔÓÐ ÔÖÞÝ Ö ÓÖÑ d ˆφ(x) 3 p = [â(p)e ip x + â (p)e ip x ]. º µ (2π) 3 2p 0 Æ ÔÓ Ø Û ÓÖÑ Ð ÞÑÙ ÒÓÒ ÞÒ Ó Ð ÝÞÒ Ó ÔÓÐ φ Û ÛÝÒ Ù Þ Ø Ô Ò Ò ¹ Û Û ÈÓ ÓÒ ÓÑÙØ ØÓÖ Ñ ÔÓ Þ ÐÓÒÝÑ ÔÖÞ Þ ÒÓ Ø ÙÖÓ ÓÒ ØÞÒº {, } NP [, ]/i ÙÞÝ Ù Ö ÛÒÓÞ ÓÛ ÞÛ Þ ÓÑÙØ Ý Ò [ˆφ(t,x), t ˆφ(t,x )] = iδ (3) (x x ) [ˆφ(t,x), ˆφ(t,x )] = 0 [ t ˆφ(t,x), t ˆφ(t,x )] = 0. ÞÛ Þ Û ØÝ ÛÝÒ Ö Ù Ý ÓÑÙØ Ý Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÔÓÛ Ó Ñ Ý p 2 = m 2, p 0 > 0 [â(p), â (p )] = (2π) 3 2p 0 δ (3) (p p ) [â(p), â(p )] = 0 [â (p), â (p )] = 0. º µ â(p), â (p) Ò Ó ØÒ º µ ½ ÃÐ ÝÞÒ Û Ð Ó ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó ÔÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÑ ØÓÛ º ¾½

36 ÇÔ Ö ØÓÖÝ ¾ â(p), â (p) Ò ÞÝÛ Ò Ð ÒÛ Ö ÒØÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ò Ð Ö Þ Ø Ó ÞØ ÖÓÔ Þ p µ Ù Ó ÓÒ ØÖÙ Ð ÖØÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û H ÞÛ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ó º ÈÓ Ø Û ÓÒ ØÖÙ Ø Ø Ò ÔÖ Ò 0 Þ Ò ÓÛ ÒÝ Ó Û Ô ÐÒ ÖÓ Û ÞÝ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ò Ð ØÞÒ p: â(p) 0 = 0. º µ Ç ÞÙ Û ÖÙÒ Ø Ò Ò Ù ÒÓÛÝÑ ÖÓÛ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ø Ò Û ÔÖ Ò º Ì Ò ÒÓÞÒ ÞÒÓ ÛÝ ÓÖÙ Û ØÓÖ ÔÖ Ò Ó Ó Þ ÔÓÐÓÒ Ó ÞÝÒÒ ÑÙÐØ ÔÐ ØÝÛ¹ Ò Óµ Ò Ó ÖÝÛ ØÓØÒ ÖÓÐ Ý ÓØÝÞÝ ÓÒ Û ÞÝ Ø Ø Ò Û ÞÝÞÒÝ º ÛÞ Ð¹ Û ÔÖ ØÝÞÒÝ Ø ØÓ ÓÛ Ò ÒÓÖÑ Ð Þ 0 0 = 1º º½º½ Ê ÔÖ Þ ÒØ ÒÛ Ö ÒØÒ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ÈÖÞ Ø Û Ò Ô ÓÛ Â ÒÓÞ Ø ÓÛÝ Ø Ò Ψ (1) ÙÞÝ Ù ÛÝ Þ ÙÓ ÐÒ ÓÒÝ Û ØÓÖ â (p) 0 ÔÓ¹ ÔÖÞ Þ ÓÛ Ò Ó ÔÓ Ô ÛÖ Þ Þ Ô ÛÒ Ò Þ ÖÓÛ ÙÒ Φ(p) Ψ (1) d 3 p = Φ(p) â (p) 0. º µ (2π) 3 2p 0 Í Ý Û ØÝÑ ÛÞÓÖÞ Ò ÞÑ ÒÒ Þ Ñ ÖÝ Þ Ô ÛÒ Ò Þ Ð ÒÓ ÙÒ Φ(p) Ó Ù Ù Ó Ò Ò º Þ ÓÒ Ò ÞÝÛ Ò ÒÛ Ö ÒØÒ ÙÒ ÐÓÛ º ÅÓ Ò ÛÝÖ Þ Þ¹ ÔÓ Ö Ò Ó Û ÔÓ Ø Φ(p) = 0 â(p) Ψ (1) = 0 ˆ φ(p) Ψ (1). º µ ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ö Ù º µ ØÛÓ ÞÒ Ð õ ÔÓ Ø ÐÓÞÝÒÙ Ð ÖÒ Ó Û Ø Ò Û ÒÓ¹ Þ Ø ÓÛÝ (1) Ψ 1 Ψ 2 (1) = d 3 p (2π) 3 2p 0 Φ 1 (p) Φ 2 (p). º µ Æ ÔÓ Ø Û Ø Ó ÛÝÖ Ò ÑÓ Ò Ð Þ Ò ÓÛ ÒÓÞ Ø ÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ Ó H (1) Û ÒÛ Ö ÒØÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ô ÓÛ º ÈÖÞ ØÖÞ Ø Ø Þ ÓÖ Ñ Ð ÙÒ Ó¹ Û ÐÒÝ Û Ò Ä Ù ³ Þ Û Ö Ø Ñ ÑÓ Ù Ù Þ Û (m 2 +p 2 ) 1/2 Ø Ö ØÓ ÙÒ Û Ó Ö Ò Ð Ý Ø ÒÓÛ Ð Ñ ÒØ H (1) µ Ö Ò ØÝÐ Ó Ò Þ ÓÖÞ Ñ ÖÝ Þ ÖÓº Ï Ò ÐÓ ÞÒÝ ÔÓ Ø ÒÝ ÒÓÞ Ø ÓÛ ÓÒ ØÖÙÙ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÓÔ Ö ØÓ¹ Ö Û Ö Ø ÒÝ Û ÐÓÞ Ø ÓÛ ÒÔº ÛÙÞ Ø ÓÛ Ø ÒÝ ÔÓ Ø Ψ (2) = 1 d 3 p d 3 p Φ (2) (p, p ) â (p)â (p ) 0, º½¼µ 2! (2π) 3 2p 0 (2π) 3 2p 0 ÔÖÞÝ ÞÝÑ Þ ÛÞ Ð Ù Ò ÔÖÞ Ñ ÒÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö ÖÓÞÔ ØÖÙ ØÝÐ Ó ÝÑ ¹ ØÖÝÞÒ ÛÙÞ Ø ÓÛ ÙÒ ÐÓÛ Φ (2) (p, p ) = Φ (2) (p, p)º Ø Ó ÔÓÛÓ Ù ÛÙÞ Ø¹ ÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ À Ð ÖØ H (2) Ø Þ ÝÑ ØÖÝÞÓÛ ÒÝÑ ÔÖÓ Ù Ø Ñ Ø Ò ÓÖÓÛÝÑ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÒÓÞ Ø ÓÛÝ H (2) = H (1) { } sym. H (1). º½½µ ¾ á Ð Ñ Û ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ó Û ÖØÓ Ý ØÖÝ ÙÝ ÒÝ º ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ò ÛÝ ØÔÙ Ý Þ Ñ Ø Û ØÓÖ Û Ø Ò Û ÞÝ ØÝ µ Ù ÝÛ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÖÞÙØÙ Ò ÒÓÛÝÑ ÖÓÛ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÞÛ Ò ÔÖÓÑ Ò Ñ º ÓÖÑ Ð ÞÑ Ø Ò Ò Ø Ò ØÙØ ØÓ ÓÛ Òݺ Ï ÔÖÞ Ø Û Ò Ù Ô ÓÛÝÑ Ó Ö Þ À Ò Ö º ¾¾

37 ÝÑ ØÖÝÞÓÛ ÒÝ ÔÖÓ Ù Ø Ø Ò ÓÖÓÛÝ Ø ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÖÓÞÔ Ò Ò ÔÖÞ Þ Þ ÝÑ ØÖÝÞÓÛ Ò ÐÓÞÝÒÝ Ø Ò ÓÖÓÛ ÔÓ Ø Ψ 1 Ψ 2 + Ψ 2 Ψ 1 º ÈÖÞ ØÖÞ Ø ÛÝÔÓ ÓÒ Ø Û ÐÓÞÝÒ Ð ÖÒÝ Ò Ù ÓÛ ÒÝ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÒÓÞ Ø ÓÛ º Ò ÐÓ ÞÒ ÓÛÓÐÒ n Þ Ø ÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ À Ð ÖØ Ø Þ ÝÑ ØÖÝÞÓÛ Ò ÔÓØ Ø Ò¹ ÓÖÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÒÓÞ Ø ÓÛ Þ Ò Ù ÓÛ ÒÝÑ ÐÓÞÝÒ Ñ Ð ÖÒÝѺ ËÙÑ ÔÖÓ Ø ÒÓÛÝÑ ÖÓÛ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÔÖ Ò H (0) ÖÓÞÔ Ò Ò ÔÖÞ Þ Ò ÛÝÖ Ò ÓÒÝ Ø Ò ÔÖ Ò 0 µ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÒÓ¹ ÓÖ Þ Û ÐÓÞ Ø ÓÛÝ Ø ÒÓÛ Ô Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ó H = H (n). n=0 º½¾µ ÓØÝ Þ ÔÖ Þ ÒØÓÛ ÒÝ ÓÖÑ Ð ÞÑ Ñ ÓÛ ÒÛ Ö ÒØÒÝ Ö Ø Öº Ì Ö Þ Þ ÞÓ Ø Ò Þ Ò ÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ö Ò Ð ÓÖ Þ ÙÒ ÐÓÛ Þ Ð Ò Ó Ù Ù Ó Ò Ò º Ø Ò ÙÔÖÓ Ò Ó Ø ÓÖ Û ÒÝÑ Ù Þ Ó Ò Ò Ó Ö ÞÞ ÐÒ ÞÒ Þ Ò Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ º ÓÖ ÔÓ ÙÛ Ô ÖÛ Þ Ö ÛÒ Ò Û º µ ÑÓ Ò Ø ÔÖÞ ÒÓÖÑÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ò Ð Ö Ý ÓÑÙØÓÛ Ý Ó ÐØÝ Ö º Ì ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ò ÞÝÛ Ò Ø ÖÓÛ Ö¹ ÒØÒÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ò Ð Ö Ñ ÓÒ ÔÓ Ø â p = â(p) 2p0, â p = â (p) 2p0. º½ µ ØÛÓ Þ ÙÛ Ý ÖÞ ÞÝÛ ( p p [â p, â p ] = δ (3) ) = (2π) (3) δ (3) (p p ). º½ µ 2π ÅÓ Ò Ø Ö Þ Þ Ò ÓÛ ÒÓÞ Ø ÓÛ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ÙÒ ÐÓÛ Ψ(p) Ó ÙÒ ¹ Û ÓÛ ÛÝ ØÔÙ Û ÛÝÖ Ò Ù Ò Û ØÓÖ Ø ÒÙ Ψ (1) ÔÖÞÝ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒÝÑ ØÝÑ Ö Þ Ñµ ÓÔ Ö ØÓÖÞ Ö Þ ÝÑ Ò ÔÖ Ò ØÞÒº d Ψ (1) 3 p = (2π) Ψ(p) â 3 p 0. º½ µ Ø Ñ ÞÔÓ Ö Ò ÛÞ Ö Ò Ø ÙÒ ÐÓÛ Ñ ÔÓ Ø Ψ(p) = 0 â p Ψ (1) º½ µ ÏÝÒ Ø ÞÛ Þ ÙÒ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ Þ ÒÛ Ö ÒØÒ Ψ(p) = Φ(p) 2p0. º½ µ Ï ÖØÓ Þ ÙÛ Ý ÖÓÞÛ Ò Û Û Ö Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ÒÛ Ö ÒØÒ µ Û Û ØÝ ÑÝ Ó Ø Û ÙÒ ÐÓÛ ÓÖ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ò Ð Ö µ Ö Ò Ûݹ Ñ Ö Ñº Ç ÞÙ Ó ØÝ Û Û Ö Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ Ñ ÒØÝÞÒ ÛÝÑ ÖÝ Û Ø ÓÖ Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ º Ø Ñ ØÓ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ÙÒ ÐÓÛ ÑÓ ÓÖ ÔÓÒ Ó¹ Û Þ Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ ÙÒ ÐÓÛ º ÖÙ ØÖÓÒÝ ÑÓ Ò Ý ÙÞ Ó Ò ÛÝÑ ÖÝ Ó Ø Û Ó Ù Û Ö ÔÖÞ Þ ÔÖÞ ÑÒÓ Ò Ó Ø Û ÒÛ Ö ÒØÒÝ ÔÖÞ Þ Ô ÖÛ Ø Þ Ñ Ýº ÈÓ ØÔÓÛ Ò ØÓ Ý Ó Ý Ò Ò Ò ØÙÖ ÐÒ Ò ÙÒ Û Ö ÐÒ ÔÓÒ Û Ò Ñ Ó Ý ÓÒÓ Ò Ù Ð Þ Ø ÞÑ ÓÛÝ º ¾

38 Ç ØÝ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ØÖ Ò ÓÖÑÙ ÔÖÞÝ ÞÑ Ò Ù Ù Ó Ò Ò Û Ð Ó p 1/2 0 º Ê Ù ØÖ Ò ÓÖÑ Ý Ò ØÝ Ó Ø Û ÑÓ Ò Þ Ô Ò ØÔÙ Ó â p = p0 â p p ÓÖ Þ Ψ (p ) = 0 p0 p 0 Ψ(p), º½ µ Þ Û Ð Ó ÔÖ ÑÓÛ Ò ÓØÝÞ Ù Ù ÔÖ ÑÓÛ Ò Ó Ø ÖÝ ÛÞ Ð Ñ Ô ÖÛÓØÒ Ó Ù Ù Ò ÔÖ ÑÓÛ Ò Ó ÔÓ ÞØ ÖÓÔÖ Ó (U µ ) = (U 0,U)º ËØÓ ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ ØÝ Ö ÛÒ Û Ð Ó ÔÖ ÑÓÛ Ò p 0 ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ØÖ Ò ÓÖÑ ÄÓÖ ÒØÞ ÔÖÞ Þ Ò ÔÖ ÑÓÛ Ò ÓÛ ÞØ ÖÓÔ Ù p 0 = p 0 U 0 p U ÐÙ Ó ÛÖÓØÒ ÒÔº Ψ (p ) = ÈÖÞ Ø Û Ò ÔÓ Ó Ò ÓÛ p 0 U 0 + p U p 0 ( Ψ p + p 0 U + p U ) U. º½ µ 1 + U 0 Ê ÛÒ Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ ÒÛ Ö ÒØÒ Ø ÖÓÛ ¹ Ö ÒØÒ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ò Ð Ö ÓÖ Þ ÒÛ Ö ÒØÒ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ÙÒ ÐÓÛ º Æ ÔÓ Ø Û Ö ÛÒ Ò º µ Û Û ÒØÓÛ Ò ÔÓÐ Ð ÖÒ φ(x) ˆ Þ Ð Ò Þ Ò ÐÙ Ö Ù º È ÖÛ Þ Þ Ò Ó ÝÐÙ Û Þ Þ Ó ØÒ ÖÙ Þ Ù ÑÒ Þ ØÓ Ó ÙÞ Ò ÓÞÒ Þ Ò d ˆφ 3 p (+) (x) = â(p)e ip x d 3 p, (2π) 3 ˆφ( ) (x) = â (p)e ip x. º¾¼µ 2p 0 (2π) 3 2p 0 Ì ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ò ÞÝÛ Ò ÒÛ Ö ÒØÒÝÑ ÔÓ Ó Ò ÓÛÝÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ò Ð Ö Þ Ø Û ÔÙÒ xº  ÑÓ Ò Ý Ó ÔÖÞÝÔÙ ÞÞ ÓÒ Ò ÞÑ ÒÒ Þ Ó ÛÖÓØÒ ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ø ÓÙÖ Ö ÒÛ Ö ÒØÒÝ Ô ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ò Ð Ö º Ï ÖØÓ ÞÛÖ ÙÛ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ˆφ (+) (x), ˆφ( ) (x) Þ Ò Û Ó Ö Þ À Ò Ö Ý ØÝÑÞ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖÝ â(p), â (p) Ö Ò ÖÓÛ º ÃÓÑÙØ ØÓÖ ÒÛ Ö ÒØÒ Ó ÔÓ Ó Ò ÓÛ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ø ÙÒ Ï ØÑ Ò Ó Ó ØÒ Þ ØÓ [ˆφ (+) (x), ˆφ ( ) (x )] = d 3 p (2π) 3 2p 0 e ip (x x ) = i (+) (x x ). º¾½µ  РÒÛ Ö ÒØÒ ÙÒ ÐÓÛ Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ ÞÓ Ø Ò ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ Ó Ò ÞÑ ÒÒ Þ Ó ÛÖÓØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÙÒ Φ(p) (p0 > 0) ØÞÒº Φ(x) = d 3 p (2π) 3 2p 0 Φ(p) e ip x, Φ(p) = Ω dx µ e ip x (p µ + i µ )Φ(x), º¾¾µ ØÓ Û ÛÞ ÒÓÞ Ø ÓÛÝ Ø Ò Û Ó Ö Þ À Ò Ö ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ Û ÔÓ Ø Ψ (1) = dx µ Φ(x) i µ ˆφ( ) (x) 0, Ω º¾ µ Þ µ = µ µ º Ç Ø ØÒ Ö ÛÒ Ò ÑÓ Ý Ø ØÖ ØÓÛ Ò Ó ÞÛ Þ Ò Ù Ý ÙÒ Φ(x) Ø Ö ÑÓ Ò Ö ÛÒ ÛÝÖ Þ ÞÔÓ Ö Ò Ó Φ(x) = 0 ˆφ (+) (x) Ψ (1) = 0 ˆφ(x) Ψ (1). º¾ µ ¾

39 ÁÒÛ Ö ÒØÒ ÙÒ ÐÓÛ Ñ Ö Ø Ö ÙÒ ÐÓÛ Û Ó Ö Þ Ë Ö Ò Ö Ñ ÑÓ Û ØÓÖ Ø ÒÙ ÖÓÞÛ ÒÝ Ø Û Ó Ö Þ À Ò Ö º Ì Ñ Þ ÒÝ ÛÝ Ö Ó Ö Þ Û Ø ÛÝ Ó ÒÝ Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ Ø ÓÖ Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ Ý ÔÖ ÓÖ Ò ÛÝÖ Ò Ò Ó Ù Ù Ó Ò Ò º Ö ÛÒ Ò º¾¾µ ÛÝÒ ÖÓÞÛ Ò ÙÒ ÓÔÖ Þ ÞÛÝ Ó Ö ÛÒ Ò ÃÐ Ò ¹ ÓÖ ÓÒ Ô Ò Û ÝÑ Ù Þ Ò Ö ÐÒÝÑ Ò ØÔÙ Ö ÛÒ Ò i t Φ(x) = m 2 Φ(x). º¾ µ ÏÝ ØÔÓÛ Ò ØÝÐ Ó Ó ØÒ Þ ØÓ Û ÒÛ Ö ÒØÒ ÙÒ ÐÓÛ Φ Ó Ö Ò Ó ÔÓÐ Ð ÖÒ Ó φ Ò Û Ø Ý Ø ÓÒÓ ØÖ ØÓÛ Ò Ð ÝÞÒ º ÈÓÒ ØÓ Ö Ù ÑÒÝ Þ ØÓ Þ Ô ÛÒ Ó ØÒ Ó ÒÓÖÑÝ ÛÝÒ Þ ÐÓÞÝÒÙ Ð ÖÒ Ó Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓ Ó Ò ÓÛ (1) Ψ 1 Ψ 2 (1) = dx µ Φ 1(x) i µ Φ 2 (x). º¾ µ Ω ÅÓ Ò Ö ÛÒ Þ Ò ÓÛ ÒÛ Ö ÒØÒ ÙÒ ÐÓÛ Ð Ø Ò Û Û ÐÓÞ Ø ÓÛÝ ÒÔº Ð ÛÙÞ Ø ÓÛ Ó Ø ÒÙ Ψ (2) Φ (2) (x, x ) = 1 2! 0 ˆφ (+) (x)ˆφ (+) (x ) Ψ (2). º¾ µ ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ø ÙÒ ÐÓÛ ÑÓ Ò Ó ØÛÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÔÓÑÓ ÓÖÑÙ Ý Ψ (2) = 1 dx µ dx 2! Ω ν Φ (2) (x, x ) i µ i ˆφ ν ( ) (x)ˆφ ( ) (x ) 0, º¾ µ Ω Þ ÛÝÐ Þ Ò ÔÓ ÓÛÓÐÒ Ó Ö ÒÝ Ò Ó Ö Ò ÞÓÒÝ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ô Ö¹ ÔÓÛ ÖÞ Ò ÔÖÞ ØÖÞ ÒÒÓÔÓ Ó ÒÝ Ω Ω º ÈÓÖ Ø Ö Þ Þ Ò ÓÛ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒÝ ÔÓ Ó Ò ÓÛÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ð â x = ÓÖ Þ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö â x = d 3 p (2π) âpe ip x = 2 m 2 ˆφ 3 ( ) (x), º¾ µ d 3 p (2π) 3 â pe ip x = 2 m 2 ˆφ (+) (x). º ¼µ ÈÓÛÝ Þ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÔÓ Ó Ò ˆφ (±) µ Þ Ò ÓÛ Ò Û Ó Ö Þ À Ò Ö Ó ÙÔÖ Þ¹ Þ Ö Ù Ý ØÖ Ò ÓÖÑ Ý Ò º Æ ÔÓ Ø Û º½ µ ØÛÓ ÔÖÞ ÓÒ Ö ÛÒÓÞ ÓÛÝ ÞÛ Þ ÓÑÙØ Ý ÒÝ ØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ñ ÔÓ Ø [â t,x, â t,x ] = δ (3) (x x ). º ½µ À Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ÔÓ Ó Ò ÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ò Ð Ö Þ Ò ÓÛ Ò Û Ò Û Ø ÔÓ Ý Ô Ò Ý Ø Ò ÞÛ Þ ÓÑÙØ Ý Òݺ ÅÓ Ò Ø Ö Þ Û ÓÛ Ø Ò ÐÓ Ó Ö ÔÖ Þ ÒØ Ô ÓÛ Þ Ò ÓÛ Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒ ÇÔ Ö ØÓÖ â x Ñ Û Ô ÛÒÝÑ Ò Ó ÛÖÓØÒ Ö Ù Ý ØÖ Ò ÓÖÑ Ý Ò Ó Ò ÐÓ ÞÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ö ÔÖ Þ ÒØ Ô ÓÛ Ý Û Ò â x ÞÝÒÒ 2ˆp 0 ØÓ Û Ð ÞÒ Ù Ò Û Ñ ÒÓÛÒ Ùº Å ÑÓ ØÓ Û Ó Ù ÔÖÞÝÔ Ù ÝÛ ÒÝ Þ Ø ÖÑ Ò Ó Ø Ø ÖÓÛ Ö ÒØÒÝ Ý Ò ÔÓØÖÞ Ò Ò ÓÑÔÐ ÓÛ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ º ¾